Центральный Дом Знаний - Вероятность случайного события

Информационный центр "Центральный Дом Знаний"

Заказать учебную работу! Жми!



ЖМИ: ТУТ ТЫСЯЧИ КУРСОВЫХ РАБОТ ДЛЯ ТЕБЯ

      cendomzn@yandex.ru  

Наш опрос

Я учусь (закончил(-а) в
Всего ответов: 2583



Вероятность случайного события


СОДЕРЖАНИЕ:
1. Введение…………………………………………………….3с.
2. Вероятность случайного события………………....4с. – 8с.
ВВЕДЕНИЕ
Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564—1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность.
ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.
Любая наука, развивающая общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия прямой линии; в механике – понятия силы, массы скорости, времени, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие – это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.
Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.
Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каждый раз оговаривать.
Случайным событием (или, короче, просто событием) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
Рассмотрим несколько примеров событий. 

1. Опыт – бросание монеты; событие A – появление герба. 
2. Опыт – бросание трех монет; событие B – появление трех гербов. 
3. Опыт передача группы из n сигналов; событие C – искажение хотя бы одного из них.
4. Опыт – выстрел по мишени; событие D – промах. 
5. Опыт – вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е – появление карты пиковой масти. 
6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F – появление короля.
7. Опыт – выбор билета на экзамене, событие G – появление четного номера билета.
8. Опыт – бросок мяча в кольцо баскетболистом, событие H – мяч оказывается в корзине. 
Рассматривая перечисленные в наших примерах события A,B,C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности – одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более возможно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Чтобы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события.
Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными – те, которые происходят реже; маловероятными – те, которые вообще не происходят. Например, событие выпадение дождя в Москве 1го июня предстоящего года более вероятно, чем выпадение снега в Москве тот же день, а событие землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.
Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события – выпадения снега зимой в России. Другой пример достоверного события: – камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".
Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: температура в 40° выше нуля на полюсах холода в городе Верхоянск и Оймякон.
Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному – равную нулю, то все другие события – возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.
Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей – числа от нуля до единицы.
Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P(A) удовлетворяет условию:
0<P(A)<1.
Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.
Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:
P(A) 0 Пример.
Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 вынимания мы из этих букв получаем 1 строчку романа "Евгения Онегина":
"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным.
Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:
P(A) 1.
Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называется событие А, состоящее в непоявлении события А.
Пример. Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А – попадание в десятку. Противоположное событие А – непопадание в десятку.
Вернемся к практически невозможным и практически достоверным событиям. Если какое-то событие А практически невозможно, то противоположное ему событие А практически достоверно и наоборот.
Практически невозможные (и сопутствующие им практически достоверные) события играют большую роль в теории вероятностей: на них основана вся её познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью достоверным; он может быть только практически достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью.
В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который можно сформулировать следующим образом:
Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, т. е. не рассчитывать на его появление.
В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся этим при принципом. Например выезжая куда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность этого события все же имеется. Отправляясь летом на Кавказ или в Крым, мы не захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, всё-таки не равна нулю.
Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным ?
Ответ на вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений, в соответствии с той важностью, которую имеет желаемый для нас результат опыта. Чем опаснее для нас возможная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозможным.
Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными.
Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости. Если кубик выполнен симметрично, "правильно" (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), естественно предположить, что любая из граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие "выпадает какая-то из граней" имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково равных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно приписать каждому из них вероятность, равную 1/6.
Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исходов, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.
Перед тем как дать способ непосредственного подсчёта вероятностей, введём некоторые вспомогательные понятия.
Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.
Примеры событий, образующих полную группу:
1) Появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;
2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени.
Несколько событий в данном опыте называются несовместимыми если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместимых событий:
1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании монеты;
2) Два попадания и два промаха при двух выстрелах;
3) Выпадение двух, выпадение трех и выпадение пяти очков при  однократном бросании игральной кости. Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным чем другое.
Заметим, что равновозможные события не могут проявляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможными.
Примеры равновозможных событий:
1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симметричной, "правильной монеты";
2) Появление карты "червонной", "бубновой", "трефовой" или "пиковой" масти при вынимании карты из колоды.
С опытами, обладающими симметрией исходов, связываются особые группы событий: они образуют полную группу, несовместимы и равновозможны.
События, образующие такую группу, называются случаями. Примеры случаев:
1) Появление герба и решки при бросании монеты;
2) Появление "1", "2", "3", "4", "5" и "6" очков при бросании игральной кости.
Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой случай говорят, что он сводится к схеме случаев. Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчете доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе.
Случай называется благоприятным (или "благоприятствующим") событию A, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.
Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события A в данном опыте можно вычислить как долю благоприятных случаев в общем их числе:
P(A)=m/n,
где m - число случаев, благоприятных событию A; 
n – общеечисло случаев.
Данная формула, так называемая "классическая формула" для вычисления вероятностей, предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), долгое время (вплоть до XIX века ) фигурировала в литературе как " определение вероятности "; те задачи, в которых схема случаев отсутствует, искусственными приемами сводились к ней. В настоящее время формального определения вероятности не дается, т.к. это понятие считается первичным и не определяется.
В данное время для вычисления вероятностей применяется закон распределения Пуассона.
Распределением Пуассона описываются: 
а) показания счетчика, снимаемые через каждый интервал времени Т;
б) число зарегистрированных событий.
Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применении теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей.

Loading

Календарь

«  Октябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031

Архив записей

Друзья сайта

  • Заказать курсовую работу!
  • Выполнение любых чертежей