Информационный центр "Центральный Дом Знаний"
Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0
|
Гармония золотого сечения«Без веры во внутреннюю гармонию нашего мира не могло бы быть никакой науки. Эта вера есть и всегда останется основным мотивом всякого научного творчества». Альберт Эйнштейн Введение С давних пор человек стремился окружать себя красивыми вещами. На определенном этапе своего развития он начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки – эстетику. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине. Известный итальянский ученый, архитектор, теоретик искусства эпохи раннего Возрождения Леон Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее: «Назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии». Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой". Эта пропорция была известна древним грекам, которые называли ее делением отрезка в крайнем и среднем отношении, и встречается в бессмертных «Началах» Евклида, где дан геометрический метод ее построения с помощью диагоналей двойного квадрата. По преданию, задолго до Евклида золотую пропорцию знал Пифагор, который в свою очередь, скорее всего, позаимствовал ее у древних египтян, которых он посетил в своих странствиях. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Загадка притягательной силы золотого сечения давно волнует человечество. «Эта наша пропорция, высокочтимый герцог, достойна такой привилегии и такого превосходства, какие только можно высказать по поводу ее безграничных возможностей». Этими словами начиналась одна из глав книги монаха ордена франсисканцев Луки Пачоли «О божественной пропорции». «Золотое сечение» назвал эту пропорцию друг Пачоли великий итальянский живописец, скульптор, архитектор, ученый и инженер Леонардо да Винчи. Что же такого замечательного скрыто в этой пропорции, что она занимает умы людей уже много веков? В золотой пропорции кроются удивительные математические закономерности, но самое главное — считается, что формы, основанные на золотом сечении, наиболее привлекательны с эстетической точки зрения и поэтому с давних пор используются художниками, дизайнерами, архитекторами. Золотое сечение в математике Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему: или где а, b, с не равны нулю. Рис. 1 Геометрически золотое сечение отрезка АВ можно построить следующим образом (рис.2): в точке В восставляем перпендикуляр к АВ и на нём откладываем ; далее, соединив точки A и C, откладываем CD=BC и, наконец, AE=AD. Точка E является искомой - она производит золотое сечение отрезка AB. Рис. 2 Докажем это. Заметим, что по теореме Пифагора: (1) По построению: , (2) Подставляя (2) в (1), получим: , (3) а отсюда уже получается равенство: (4) Что и требовалось доказать. Если длину отрезка AB обозначить через a, а длину отрезка AE – через x, то длина отрезка EB будет a-x, и пропорция (4) примет следующий вид Решая это уравнение относительно x , мы находим, что . Значит, . Таким образом, части золотого сечения составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Число обозначается греческой буквой («фи») в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в. до н. э, и является коэффициентом золотого сечения: => . Число - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы. Число, обратное обозначается Ф: Из основного золотого сечения вытекает «второе золотое сечение», которое дает другое отношение 44 : 56. Об этом впервые в Болгарском журнале "Отечество" (№10, 1983г.) была опубликована статья Цветана Цекова-Карандаша "О втором золотом сечении". Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата. Рис. 3 Геометрически «второе золотое сечение» отрезка АВ можно построить следующим образом (рис.3): делим отрезок AB в пропорции золотого сечения, как было показано выше. Из точки С восставляем перпендикуляр. Строим окружность с центром в точке А и радиусом AB. Находим точку D - точку пересечения окружности с перпендикуляром. Соединяем точку D линией с точкой А. Прямой угол АСD делим пополам. Из точки С проводим линию до пересечения с линией AD. Находим точку Е, которая делит отрезок AD в отношении 56 : 44. На рисунке 4 показано положение линии «второго золотого сечения». Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника. Рис. 4 Золотое сечение можно увидеть в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник. Пентаграмма — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте. Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности. Рис. 5 Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник (рис. 5(а)). Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть O - центр окружности, A - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией. Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (рис. 5(б)), в котором , (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги BC (имеет градусную меру равную ), AC и AB (имеют градусную меру ) соответственно). Но , поэтому CD является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него подобный . Из подобия этих треугольников имеем AB:BC=BC:DB. Учитывая, что BC=CD=AD, получаем пропорцию . Итак, мы получили, что точка D делит отрезок AB в золотом сечении. Примем сторону пятиугольника за единицу , положим и, следовательно, . Так как точка D делит отрезок AB в золотом сечении, т.е. , то получаем уравнение , которое имеет единственный положительный корень . Итак мы получили: , , Аналогично, рассмотрев треугольник DGH, в котором DG=φ, получим, что стороны внутренней звезды будут равны , а стороны внутреннего правильного пятиугольника - . И т.д. Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения: 1, , , ,…, , ,…, причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней, а стороны звезд – ряд нечетных степеней. Если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой x находится со стороной исходного пятиугольника AF=1 в золотом отношении, т.е. . Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид: …, , , , , , ,…, или …, , , , 1, , ,… (5) Этот ряд отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда: или . Проверим это. Т.к. , то Рассмотрим теперь ряд золотого сечения: 1, , , , , … , , … ( ) и, пользуясь аддитивным свойством ряда, выразим степени через : n=1 : = , n=2 : =1+ , n=3 : = + = +(1+ )=1+2 , n=4 : = + =(1+ )+(1+2 )=2+3 , n=5 : = + =(1+2 )+(2+3 )=3+5 , . . . . . . . . Мы видим, что коэффициенты при , также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …, (6) каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов: 1+1=2; 1=2=3; 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13; 8 + 13= 21 и т.д. Эта последовательность была впервые описана в 1202 году в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу – Фибоначчи. С тех пор последовательность (6) называется рядом Фибоначчи, а ее члены – числами Фибоначчи. Ряд Фибоначчи тесно связан с золотым сечением. Если взять отношение последующего члена ряда (6) к предыдущему , то мы обнаружим, что это отношение с ростом k стремиться к коэффициенту золотого сечения : и т.д. Связь ряда Фибоначчи с золотым сечением была впервые установлена И.Кеплером спустя четыре столетия после его открытия. Заметим также, что отношение предыдущего члена ряда к последующему стремится к коэффициенту . Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение. Рассмотрим способ построения золотого треугольника (рис.6): проведем прямую АВ, от точки А отложим на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проведем перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р отложим отрезки О. Полученные точки d и d1 соединим прямыми с точкой А. Отрезок dd1 отложим на линию Ad1 , получим точку С. Она делит линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Рис. 6 Множество «золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение сторон которого равно числу Ф. Рис. 7 Золотой прямоугольник можно построить следующим образом (рис.7): строим квадрат ABCD. Сторону AB делим пополам точкой E. Строим окружность с центром в точке E и радиусом EC. Нас интересует точка пересечения окружности с продолжением стороны AB за точку B. Эта точка — F — третья вершина искомого прямоугольника (первая — точка A, еще одна — D). Восстанавливаем перпендикуляр в точке F к прямой AF. Продлеваем DC до пересечения с перпендикуляром. Таким образом получаем третью вершину — G. Прямоугольник построен. Точка B разделила отрезок AF в пропорции золотого сечения. Докажем это. По теореме Пифагора: Что и требовалось доказать. Так как по построению, то и мы действительно построили золотой прямоугольник с отношением сторон равным . Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники и так до бесконечности. Соединив диагонали квадратов, можно получить бесконечную, не имеющую начала спираль золотого сечения (рис. 8). Рис. 8 Спираль, построенная на основании ряда Фибоначчи, разворачиваясь, приближается к спирали золотого сечения, но, в отличие от спирали золотого сечения, имеет начало (рис. 9). Рис. 9 Сравнение этих двух моделей отражает соотношение между идеальным (спираль золотого сечения) и реальным (спираль на основе ряда Фибоначчи) мирами. Рассмотрим построение спиральной линии (рис. 9). На листе бумаги чертится золотой прямоугольник со сторонами, равными 8 и 5 см. Внутри прямоугольника с левой стороны выделяется квадрат 5 X 5 см. Справа образуется уменьшенный золотой прямоугольник со сторонами 5 и 3 см. В этом прямоугольнике также строится квадрат со сторонами 3 см. Далее строим соответственно квадрат со стороной 2 см. В конце остаются два квадрата со сторонами 1 см. Всего получается шесть равномерно уменьшающихся квадратов, вписанных в золотой прямоугольник. Затем, последовательно устанавливая циркуль в точки A, B, C, D, E, проводим дуги в каждом из квадратов. Спиральная линия построена. Золотое сечение в музыке Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие в целом. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении золотого сечения. Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии. Можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. В начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром были и крупные московские ученые, русский музыковед Э. К. Розенов (1861-1935) выступил с докладом "Закон çоëотого сечения в поэзии и музыке". Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений. Розенов проанализировал популярнейшие произведения гениальных авторов Баха, Моцарта, Бетховена, Шопена, Вагнера, Глинки, а также произведения народного творчества наиболее древнего происхождения. Сравнивая проявление закона золотого сечения у Баха и Бетховена, Розенов пишет: "Мы находим у Баха сравнительно более детальную и органическую сплоченность. Закон золотого деления проявляется у него с поразительной точностью в соотношениях крупных и мелких частей как в строгих, так и в свободных формах, что, несомненно, соответствует с характером, этого гениального мастера-труженика, сильным, здоровым и уравновешенным, с его глубоко сосредоточенным отношением к работе и детально отделанной манерою письма. У Бетховена проявление закона золотого сечения глубоко логично по отношению к размерам частей формы, но главным образом указывает на силу темперамента этого автора по точности совпадения всех моментов высшего напряжения чувств и разрешения подготовленного ожидания с моментами золотых сечений. У Шопена внутренняя формальная связь сравнительно слабее и проявляется не сплошь, а лишь местами. По силе темперамента он сходен с Бетховеном, но проявление это более внешне и касается чаще изящной нарядности изложения мысли, нежели его внутренней логики. У Моцарта темперамент проявляется сравнительно слабее, закон золотого сечения направлен у него особенно часто к подчеркиванию драматических элементов (психологических контрастов, противопоставлений характеров) и трагических положений. У Глинки мы находим применение данного закона только лишь в широких масштабах при полном почти отсутствии мелочных соответствий, встречающихся так часто у Баха и Шопена". Вот к каким глубоким эстетическим выводам приводит простейший математический анализ музыки! В качестве примера остановимся на анализе Хроматической фантазии И.С.Баха, проведенном Э.К.Розеновым. Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79 . 4 = 316 четвертных долей. Итак, "целое" а=316. Ôантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на 2-й четверти 49-го такта и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48 . 4 + 3) четверти a1=195. На вторую часть приходится 121 четверть (a2=a - a1=316 - 195=121). Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим: . Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции: , . Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения при а=316, имеем: 316 195,3 120,7 74,6 46,1 28,5 17,6. Каково же должно быть наше удивление, когда мы обнаружим, что на 124-й четверти находится кульминация первой части, а на 77-й четверти от начала второй части имеет место кульминация второй части. Таким образом, кульминация обоих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей точностью приходятся на точки золотого сечения этих разделов. Также Розенов нашел и более мелкие деления Хроматической фантазии в золотой пропорции. Итак, Хроматическая фантазия, произведение свободного по форме жанра, буквально соткано из золотых пропорций. (......) |
Loading
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||