|
Справочник по математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И.Справочник по математике для экономистовПод ред. Ермакова В.И.3-е изд., перераб. и доп. — М.: Инфра-М, 2009. — 464с. Справочник содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ. Имеется раздел, посвященный вопросам рыночного равновесия. Предназначен для студентов экономических ВУЗов. Может быть использован аспирантами и преподавателями ВУЗов и колледжей, а также экономистами различных специальностей в практической работе. Содержание Предисловие 3Раздел I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 4 1.1. Постоянные величины 4 1.2. Основные алгебраические формулы 4 1.3. Основные тригонометрические формулы 5 1.4. Натуральные числа. Разложение на простые множители 6 1.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное 6 1.6. Обыкновенные и десятичные дроби 7 1.7. Проценты 9 1.8. Пропорции 10 1.9. Абсолютная величина (модуль) действительного числа 10 1.10. Средние величины 11 1.11. Прогрессии и конечные суммы 11 1.12. Факториал 12 1.13. Размещения, перестановки, сочетания 13 1.14. Степени и корни 14 1.15. Бином Ньютона 15 1.16. Логарифмы 15 1.17. Многочлены 16 1.18. Рациональные дроби 18 1.19. Графики элементарных функций 18 1.20. Графики неэлементарных функций и важнейшие кривые 27 1.21. Понятие множества 29 1.22. Операции над множествами 30 1.23. Отображение. Функция 32 1.24. Мощность множества 33 1.25. Числовые множества. Грани числового множества 34 1.26. Комплексные числа 35 1.27. Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве... 38 1.27.1. Система декартовых координат на плоскости и в пространстве 38 1.27.2. Системы геометрических и алгебраических векторов 38 1.27.3. Операции в векторных системах 39 1.27.4. Уравнения прямой на плоскости 40 1.27.5. Кривые второго порядка на плоскости 42 1.27.6. Уравнения плоскости в пространстве 44 1.27.7. Формы задания прямой в пространстве 45 1.27.8. Угол между прямой и плоскостью 46 Раздел II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 47 2.1. Линейные уравнения 47 2.2. Системы линейных уравнений 47 2.3. Разрешенные системы линейных уравнений 48 2.4. Метод Гаусса построения общего решения системы линейных уравнений 50 2.5. л-мерные векторы и операции с ними 55 2.6. Длина вектора. Угол между л-мерными векторами 56 2.7. Линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений 57 2.8. Разложение векторапо системе векторов 58 2.9. Линейная зависимость векторов 60 2.10. Базис и ранг системы векторов 61 2.11. Условия совместности и определенности системы линейных уравнений 63 2.12. Однородные системы линейных уравнений 63 2.13. Общее решение системы линейных уравнений в векторной форме 65 2.14. Ортогональные системы векторов 66 2.15. Матрицы 67 2.16. Умножение матрицы на число и сложение матриц 68 2.17. Умножение матриц 68 2.18. Блочные матрицы и действия с ними 70 2.19. Умножение матрицы на вектор 72 2.20. Векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений 73 2.21. Обратная матрица 73 2.22. Транспонирование матрицы 75 2.23. Ранг матрицы 76 2.24. Симметрические и ортогональные матрицы 76 2.25. Определители квадратных матриц 77 2.26. Разложение определителя по строке и столбцу 79 2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей 80 2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей 82 2.29. Собственные векторы и собственные значения матрицы 83 2.30. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду 84 2.31. Положительные матрицы 86 2.32. Квадратичные формы 87 2.33. Применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей 89 2.34. Динамическая модель планирования 90 2.35. Линейная модель производства 90 Раздел III. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО R" 92 3.1. Точки в л-мерном пространстве. Расстояние между точками 92 3.2. Окрестность точки в л-мерном пространстве 93 3.3. Ограниченные множества в л-мерном пространстве 93 3.4. Внутренние и граничные точки множества в л-мерном пространстве.. 94 3.5. Предельные точки множества в л-мерном пространстве 94 3.6. Замкнутые и открытые множества в R" 95 3.7. Последовательности л-мерных точек 96 3.8. Предел последовательности 96 3.9. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности 98 3.10. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей... 99 3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей) 100 3.12. Монотонные последовательности. Число е 100 3.13. Выпуклые множества в n-мерном пространстве 101 3.14. Крайние точки выпуклых множеств 102 3.15. Непрерывные отображения пространства и неподвижные точки 103 3.16. Точечно-множественные (многозначные) отображения пространства R" 104 3.17. Подпространства пространства R" 104 3.18. Выпуклые конусы в пространстве R" 105 3.19. Суммы выпуклых множеств в пространстве R" 107 Раздел IV. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ... .109 4.1. Понятие функции 109 4.2. Область определения и множество значений функции 109 4.3. Ограниченные функции ПО 4.4. Сложные функции (суперпозиции) 111 4.5. Неявные функции 112 4.6. Параметрическое задание функций 112 4.7. Выпуклые и вогнутые функции 113 4.8. Специфические свойства функций одной переменной 114 4.9. Обратная функция 116 4.10. Понятие предела функции 117 4.11. Некоторые замечательные пределы 118 4.12. Свойства функций, имеющих предел 119 4.13. Предел функции при х->°° 119 4.14. Односторонние пределы 120 4.15. Основные теоремы о пределах 121 4.16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 122 4.17. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые 124 4.18. Асимптоты графика функции одной переменной 125 4.19. Понятие непрерывности функции в точке 127 4.20. Свойства функций, непрерывных в точке 128 4.21. Свойства функций, непрерывных на множестве 128 4.22. Непрерывность сложной функции 129 4.23. Односторонняя непрерывность 130 4.24. Непрерывность обратной функции 130 4.25. Точки разрыва функции 131 Раздел V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 133 5.1. Производная 133 5.2. Дифференцируемость и дифференциал функции 134 5.3. Геометрический смысл производной и дифференциала 135 5.4. Физический смысл производной и дифференциала 137 5.5. Приложения производной к экономике 137 5.6. Правила вычисления производных и дифференциалов 139 5.7. Таблица производных 140 5.8. Производная и дифференциал сложной функции 140 5.9. Логарифмическое дифференцирование 141 5.10. Производные и дифференциалы высших порядков 142 5.11. Производная обратной функции 144 5.12. Производная параметрически заданной функции 144 5.13. Производная неявно заданной функции 145 5.14. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций 145 5.15. Формула Тейлора 147 5.16. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 148 5.17. Признаки монотонности функции 150 5.18. Экстремум функции 150 5.19. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве 152 5.20. Направление выпуклости графика функции 154 5.21. Точки перегиба графика функции 155 5.22. Общая схема исследования функции 156 Раздел VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 158 6.1. Частные производные функций нескольких переменных 158 6.2. Полное приращение функции нескольких переменных 159 6.3. Дифференцируемость функций нескольких переменных 160 6.4. Дифференциал функции нескольких переменных 161 6.5. Градиент функции нескольких переменных 162 6.6. Частные производные высших порядков 163 6.7. Экстремумы функций нескольких переменных 164 6.8. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных 165 6.9. Системы функциональных уравнений и неравенств 167 6.10. Особые точки множества 168 6.11. Условные экстремумы функций нескольких переменных 169 6.12. Наименьшее и наибольшее значения функции на множестве решений системы уравнений и неравенств 171 6.13. Экстремумы выпуклых и вогнутых функций 172 Раздел VII. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 173 7.1. Первообразная и неопределенный интеграл 173 7.2. Таблица основных интегралов 173 7.3. Свойства неопределенного интеграла 174 7.4. Методы интегрирования 175 7.5. Определенный интеграл 180 7.6. Основные свойства определенного интеграла 181 7.7. Вычисление определенных интегралов 182 7.8. Геометрические приложения определенного интеграла 182 7.9. Несобственные интегралы 183 7.10. Кратные интегралы 186 7.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения 192 7.12. Дифференциальные уравнения первого порядка 194 7.13. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка 196 7.14. Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами 197 7.15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 200 7.16. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 203 Раздел VIII. РЯДЫ 206 8.1. Сумма числового ряда 206 8.2. Основные свойства сходящихся числовых рядов 207 8.3. Признаки сходимости положительных числовых рядов 208 8.4. Абсолютная и условная сходимость рядов 210 8.5. Сходимость функциональных рядов 211 8.6. Функциональные свойства суммы ряда 212 8.7. Степенные ряды 212 8.8. Разложение функций в степенные ряды 214 8.9. Тригонометрические ряды 215 8.10. РядыФурье 216 8.11. Приложения рядов 218 Раздел IX. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 220 9.1. Оптимизационные задачи 220 9.2. Задачи линейного программирования 221 9.3. Графический метод решения двумерных задач линейного программирования 224 9.4. Каноническая форма задачи линейного программирования 227 9.5. Опорные решения задачи линейного программирования в канонической форме 228 9.6. Признак оптимальности опорного решения задачи линейного программирования в канонической форме. Условие неограниченности целевой функции 230 9.7. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом... 233 9.8. Метод искусственного базиса для отыскания начального опорного решения 237 9.9. Взаимно двойственные задачи линейного программирования 238 9.10. Теоремы двойственности в линейном программировании 240 9.11. Экономическая интерпретация двойственности в линейном программировании 242 9.12. Транспортная задача 244 9.13. Опорные решения транспортной задачи 246 9.14. Решение транспортной задачи методом потенциалов 249 9.15. Параметрические задачи линейного программирования 251 9.16. Целочисленные задачи линейного программирования 253 9.17. Метод отсечений для целочисленных задач линейного программирования 256 9.18. Метод ветвей и границ для целочисленных задач линейного программирования 258 9.19. Метод Беллмана для решения целочисленных задач линейного программирования 261 9.20. Задачи нелинейного программирования 263 9.21. Задачи выпуклого программирования 266 9.22. Задачи выпуклого квадратичного программирования 268 9.23. Приближенные методы решения задач нелинейного программирования 270 9.24. Метод возможных направлений для решения задач выпуклого программирования 272 9.25. Простейшие задачи вариационного исчисления 275 9.26. Задачи оптимального управления 279 Раздел X. ТЕОРИЯ ИГР 282 10.1. Бескоалиционные игры нескольких лиц 282 10.2. Бескоалиционные игры двухлиц 284 10.3. Ситуации равновесия в бескоалиционных играх 286 10.4. Ситуации равновесия в антагонистических играх 289 10.5. Ситуации равновесия в матричных играх 291 10.6. Стратегическая эквивалентность бескоалиционных игр 293 10.7. Смешанные расширения конечных бескоалиционных игр 293 10.8. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях 296 10.9. Матричные игры: ситуация равновесия в смешанных стратегиях 299 10.10. Классические кооперативные игры 301 10.11. Дележи в кооперативных играх, с-ядро 303 10.12. л-ядро кооперативной игры 305 Раздел XI. ГРАФЫ И СЕТИ 307 11.1. Основные понятия теории графов 307 11.2. Связные графы 309 11.3. Подграфы 310 11.4. Операции над графами 310 11.5. Деревья 311 11.6. Лес. Разрезы 312 11.7. Эйлеровы и гамильтоновы графы 314 11.8. Ориентированные графы 315 11.9. Матрицы графов 316 11.10. Максимальные потоки в сети 317 11.11. Задача о кратчайшем пути между двумя вершинами графа 321 11.12. Алгоритм построения деревьев 323 11.13. Задачи сетевого планирования 325 Раздел XII. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 333 12.1. Задача интерполяции 333 12.2. Конечные разности 334 12.3. Интерполяционная формула Лагранжа 335 12.4. Интерполяционные формулы Ньютона 336 12.5. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя 339 12.6. Интерполирование сплайнами 341 Раздел XIII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 345 13.1. Случайные события 345 13.2. Вероятность события 346 13.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей 347 13.4. Формула полной вероятности и формула Байеса 349 13.5. Распределение вероятностей события. Формулы Бернулли и Пуассона 350 13.6. Случайные величины 351 13.7. Функция распределения и плотность распределения случайной величины 352 13.8. Математическое ожидание случайной величины 353 13.9. Дисперсия случайной величины 353 13.10. Векторные случайные величины 354 13.11. Числовые характеристики векторных случайных величин 355 13.12. Начальные и центральные теоретические моменты случайных величин 357 13.13. Примеры законов распределения случайных величин 358 13.14. Случайные функции. Законы распределения 359 13.15. Математическое ожидание случайной функции 359 13.16. Корреляционная функция случайной функции 360 13.17. Каноническое разложение случайной функции 360 13.18. Стационарные случайные функции 361 13.19. Марковские случайные процессы. Марковская цепь 362 13.20. Предельные теоремы теории вероятностей 363 13.20.1. Асимптотические предельные теоремы. Закон больших чисел 363 13.20.2. Обоснование закона больших чисел. Теорема Чебышева 365 13.20.3. Центральные предельные теоремы. Теорема и неравенство Ляпунова 366 13.20.4. Общее сравнение предельных законов дискретных и непрерывных величин. Усиленный закон больших чисел .. 369 Раздел XIV. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 372 14.1. Генеральная и выборочная совокупности 372 14.2. Вариационный ряд 372 14.3. Полигон и гистограмма 373 14.4. Эмпирическая функция распределения 374 14.5. Выборочная средняя и выборочная дисперсия 375 14.6. Начальные и центральные эмпирические моменты 375 14.7. Оценки параметров распределения 376 14.8. Точечная и интервальная оценки 377 14.9. Метод моментов 377 14.10. Метод наибольшего правдоподобия 378 14.11. Построение доверительного интервала 379 14.12. Статистические гипотезы и их проверка 381 14.13. Временные ряды 383 14.13.1. Основные понятия и определения 383 14.13.2. Выявление тренда во временных рядах 385 14.13.3. Вычисление значений выборочных автокорреляционных функций 387 14.13.4. Модели авторегрессии временных рядов 391 14.13.5. Разностные модели. Модель Бокса — Дженкинса 392 Раздел XV. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 395 15.1. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) 395 15.1.1. Основные положения метода 395 15.1.2. Моделирование равномерно распределенных случайных чисел 397 15.1.3. Получение случайных чисел с заданным законом распределения 399 15.1.4. Практическое получение нормально распределенной случайной величины 400 15.2. Метод наименьших квадратов 402 15.3. Корреляционный анализ 407 15.3.1. Статистические оценки корреляционных связей 407 15.3.2. Ранговая корреляция 411 15.3.3. Множественный коэффициент корреляции. Мультиколлинеарность 417 15.4. Дисперсионный анализ 418 15.5. Регрессионный анализ 420 15.6. Планирование эксперимента 422 15.7. Методы статистического прогноза 423 Раздел XVI. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 428 16.1. Классификация систем массового обслуживания 428 16.2. Показатели эффективности систем массового обслуживания 429 16.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний 432 16.4. Системы массового обслуживания с отказами 434 16.5. Системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди .. 435 16.6. Системы массового обслуживания с ожиданием 436 16.7. Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания 437 16.8. Замкнутые системы массового обслуживания 439 Раздел XVII. РЫНОЧНОЕ РАВНОВЕСИЕ 441 17.1. Технологические множества 441 17.2. Поле предпочтений потребителя 442 17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие .. 444 Приложения 447 |
Loading
|