|
Математика. Задачи с ответами и решениями. Пособие для поступающих в вузы. Сергеев И.Н.Математика. Задачи с ответами и решениями. Пособие для поступающих в вузыСергеев И.Н.2-е изд., доп. - М.: КДУ, 2004.— 360 с. Пособие представляет собой сборник задач по школьному курсу математики (включая алгебру, геометрию и начала анализа) и предназначено для подготовки к вступительному экзамену по математике в любой вуз. Специальный порядок задач, разработанный опытным преподавателем, обеспечивает максимальный обучающий эффект. При последовательном изучении материала знания абитуриента развиваются по спирали: пройдя очередной ее виток, он оказывается подготовленным по всем разделам математики на существенно более высоком уровне, чем раньше. Содержатся варианты письменных вступительных экзаменов по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова, проводившихся в 2002-2003 гг., а также программа по математике для поступающих в МГУ. Для старшеклассников и учителей, абитуриентов и репетиторов.
Формат: djvu / zip Размер: 3,7 Мб
Оглавление Введение 111. Уникальность настоящего сборника 11 2. Структура книги 12 3. Несколько слов о фундаментальных задачах... 13 4. Краткое описание генеральных методов 14 5. Условные обозначения 15 6. Как пользоваться задачником 17 Часть I. Фундаментальные задачи Глава 1. Первичные понятия, факты и приемы 1. Элементарные сведения 18 1.1. Задачи на вычисление значений 18 1.2. Модуль и знак числа, допустимые значения... 19 1.3. Отбрасывание оснований степени 21 1.4. Понятие логарифма 21 2. Тригонометрия 22 2.1. Вычисление тригонометрических выражений ... 23 2.2. Простейшие уравнения 24 2.3. Формулы двойного и половинного угла 25 2.4. Формулы тригонометрии 25 2.5. Отбрасывание тригонометрических функций 27 2.6. Введение вспомогательного угла 27 3. Логарифмы 28 3.1. Вычисление логарифмов 29 3.2. Отбрасывание логарифмов 29 3.3. Особенности применения формул 30 3.4. Случаи переменного основания 31 4. Системы и текстовые задачи 32 4.1. Системы 32 4.2. Прогрессии 34 4.3. Пропорции, доли, проценты и концентрации.. 36 4.4. Движение и работа 39 5. Геометрия 42 5.1. Простейшие задачи 42 5.2. Применение тригонометрии 46 5.3. Касательные, секущие и хорды 49 5.4. Дуги окружности и углы 52 5.5. Медианы, высоты и биссектрисы 56 5.6. Стереометрия 59 5.7. Координаты и векторы 63 Глава 2. Квадратные уравнения и неравенства 6. Квадратный трехчлен 66 6.1. Дискриминант и формула корней 66 6.2. Разложение на линейные множители 67 6.3. Теорема Виета и обратная к ней 68 7. Уравнения и неравенства, квадратные относительно различных выражений 69 7.1. Биквадратные уравнения и неравенства 70 7.2. Уравнения и неравенства, квадратные относительно ах 70 7.3. Уравнения и неравенства, квадратные относительно loga x 71 7.4. Уравнения, квадратные относительно sin x или cos а; 72 8. Дополнительные соображения 73 8.1. Учет области допустимых значений 73 8.2. Комбинации различных функций 75 8.3. Оптимальный выбор новой переменной 76 8.4. Роль грубых оценок 77 8.5. Учет области значений выражения 78 9. Простейшие приложения 79 9.1. Системы, сводящиеся к квадратным уравнениям 79 9.2. Квадратные уравнения и неравенства в текстовых задачах 81 9.3. Использование квадратных уравнений в геометрии 84 Часть II. Генеральные методы решения задач Глава 3. Метод перебора 10. Расщепление уравнений и неравенств 87 10.1. Расщепление уравнений 87 10.2. Метод интервалов 88 10.3. Расщепление неравенств 90 10.4. Разные задачи, связанные с расщеплением 91 11. Перебор случаев 93 11.1. Раскрытие модулей и метод интервалов 93 11.2. Исследование основания логарифма или степени 96 11.3. Зависимость от параметра 97 11.4. Перебор вариантов в текстовых задачах 98 11.5. Целочисленный перебор 101 12. Развитие метода интервалов 104 12.1. Обобщенный метод интервалов 104 12.2. Метод областей 106 13. Разложение на множители 109 13.1. Разложение с помощью формул тригонометрии... 109 13.2. Дублирование корней в ответе ПО 13.3. Использование однородности 111 • 13.4. Разные методы разложения на множители 112 13.5. Уравнения третьей и четвертой степени 113 14. Возведение уравнений и неравенств в квадрат 115 14.1. Иррациональные уравнения 115 14.2. Иррациональные неравенства 116 14.3. Разные задачи на возведение в степень 117 15. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы 120 15.1. Выбор корней из данного промежутка 120 15.2. Учет тригонометрических неравенств 122 15.3. Трудности при отборе корней 124 16. Перебор случаев в геометрии 126 16.1. Обоснование геометрической конфигурации ... 126 16.2. Перебор вариантов расположения 129 16.3. Неоднозначность в ответе 132 Глава 4. Метод равносильных преобразований 17. Сравнение чисел и выражений 135 17.1. Задачи на сравнение 135 17.2. Сравнение чисел в процессе решения 136 17.3. Оценки в геометрии 138 17.4. Цепочки неравенств 140 18. Некоторые особенности преобразований 142 18.1. Изменение области допустимых значений 142 18.2. Случаи неодинаковых оснований 144 18.3. Специальные действия с радикалами 145 19. Различные системы и совокупности 146 19.1. Метод подстановки 147 19.2. Метод сложения 148 19.3. Системы в текстовых задачах 149 19.4. Необычные равносильные преобразования 151 19.5. Разные способы избавления от модулей 152 20. Область значений и экстремумы функций 154 20.1. Исследование функций без производной 154 20.2. Условные экстремумы 156 20.3. Исследование области значений в процессе решения 157 20.4. Экстремальные ситуации в уравнениях и неравенствах 159 20.5. Исследование величин в текстовых задачах 162 21. Геометрические вопросы 165 21.1. Сравнение площадей и объемов 165 21.2. Исследование геометрических величин и параметров : 170 21.3. Геометрические преобразования 173 Глава 5. Метод обозначений 22. Замена переменных 177 22.1. Избавление от радикалов с помощью обозначений 177 22.2. Выявление устойчивых выражений 178 22.3. Тригонометрические замены и подстановки... 181 22.4. Учет делимости посредством подстановки 182 22.5. Обозначения и переобозначения в текстовых задачах 183 23. Переменные, параметры, функции 186 23.1. Привлечение функций 186 23.2. Изменение роли букв, входящих в условие 187 23.3. Введение дополнительных переменных 189 24. Переменные в геометрии 191 24.1. Обозначения для длин и углов 191 24.2. Метод координат 193 24.3. Задачи с возможным участием векторов 195 25. Графические иллюстрации 197 25.1. Числовая прямая 197 25.2. Исследование графиков 199 25.3. Упрощение выкладок с помощью свойств параболы 201 25.4. Числовая окружность 203 26. Зависимость графиков от параметра 205 26.1. Сечения графиков 205 26.2. Взаимное расположение графиков 208 26.3. Использование параметра в качестве одной из координат 209 26.4. Задачи на расположение парабол 211 27. Привлечение геометрии 215 27.1. Геометрический смысл модуля 215 27.2. Эффект от геометрической интерпретации ... 216 27.3. Применение геометрии в текстовых задачах... 218 28. Дополнительные построения в геометрии 220 28.1. Стандартные построения 220 28.2. Сравнение площадей и объемов частей фигуры 223 28.3. Разные задачи, использующие дополнительные построения 226 Глава 6. Метод следствий 29. Основные типы следствий 230 29.1. Следствие, заложенное в постановке задачи... 230 29.2. Метод проверки 232 29.3. Метод подбора 234 30. Получение и применение оценок 236 30.1. Выводы на области допустимых значений 236 30.2. Разные задачи, использующие оценки 237 30.3. Оценки в текстовых задачах 240 31. Специфика геометрии 241 31.1. Получение различных следствий 241 31.2. Угадывание особенностей конфигурации 246 31.3. Метод подбора в геометрии 250 32. Элементы логики 253 32.1. Приведение к противоречию 253 32.2. Переход от общего к частному 255 32.3. Следствия, связанные с количеством решений ... 257 32.4. Различные логические связи между утверждениями 260 33. Задачи с целыми числами 261 33.1. Оценки целочисленных переменных 261 33.2. Использование делимости 264 33.3. Экстремальные-целочисленные задачи 266 34. Проекции и сечения 267 34.1. Проектирование на прямую 268 34.2. Проектирование на плоскость 269 34.3. Сечение фигур плоскостями 273 Приложение А. Программа по математике I. Основные понятия 279 II. Содержание теоретической части устного экзамена 280 III. Требования к поступающему 282 Приложение Б. Дополнительные разделы Б.1. Элементы комбинаторики 284 Б.2. Задачи, использующие предел 284 Б.3. Производная 284 Б.4. Исследование функций с помощью производной 285 Б.5. Касательная 287 Б.б. Интеграл 288 Б.7. Нахождение площадей с помощью интеграла.. 288 Б.8. Разные задачи на применение производной и интеграла 289 Приложение В. Варианты заданий 2002 г. Приложение Г. Варианты заданий 2003 г. Ответы 325 |
Loading
|