Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа
Крамор В.С.
М.: Просвещение, 1990.—416с.
В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по алгебре и началам анализа. К каждому пункту теоретического материала приведены упражнения с решениями и упражнения трех уровней сложности для самостоятельного решения. Она может быть использована при подготовке к экзаменам в высшие учебные заведения.
Формат: djvu / zip
Размер: 5,04 Мб
Из предисловия:
Данная книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса алгебры и начал анализа. Она поможет систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся. Особенно она может быть полезной при подготовке к выпускным экзаменам в десятых классах средней школы и при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Ею могут пользоваться как школьники, так и учащиеся СПТУ и слушатели подготовительных отделений вузов.
Прообразом данной книги является книга того же автора «Учебное пособие для подготовительных отделений вузов» (М.: Высшая школа, 1981).
Назначение данной книги определило и ее структуру. Весь учебный материал в книге разбит на главы. Каждая глава состоит из нескольких параграфов, которыми определяется ее теоретическая часть.
Все параграфы главы (за некоторым исключением) построены по одной и той же схеме. Они содержат:
1) справочный материал;
2) упражнения с решениями;
3) дидактический материал;
4) контрольные вопросы.
В конце книги дано приложение, в котором рассматриваются приемы решения текстовых задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие Глава I
§ 1. Натуральные числа и действия над ними
§ 2. Сложение и законы сложения
§ 3. Вычитание
§ 4. Умножение и законы умножения
§ 5. Деление
§ 6. Признаки делимости чисел
§ 7. Понятие множества ,
§ 8. Операции над множествами
§ 9. Взаимно однозначное соответствие
§ 10. Простые и составные числа
§ 11. Наибольший общий делитель
§ 12. Наименьшее общее кратное
Контрольные вопросы
Глава II
§ 1. Обыкновенные дроби
§ 2. Правильные и неправильные дроби
§ 3. Основное свойство дроби
§ 4. Сложение и вычитание дробей
§ 5. Умножение дробей
§ 6. Деление дробей
§ 7. Десятичные дроби
§ 8. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби
§ 9. Отношение. Пропорция
§ 10. Свойства пропорции
§11. Процент. Основные задачи на проценты
§ 12. Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам
Контрольные вопросы
Глава III
§ 1. Координатная прямая
§ 2. Множество целых чисел . . 26
§ 3. Множество рациональных чисел 27
§ 4. Модуль числа —
§ 5. Сравнение рациональных чисел 28
§ 6. Сложение и вычитание рациональных чисел 29
§ 7. Умножение и деление рациональных чисел —
§ 8. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем 30
Контрольные вопросы 31
Глава IV
§ 1. Свойства степени с натуральным показателем —
§ 2. Числовые выражения 34
§ 3. Выражения с переменными —
§ 4. Тождественно равные выражения —
§ 5. Одночлены 35
§ 6. Многочлены 36
§ 7. Преобразование суммы и разности многочленов 37
§ 8. Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен . . 38
§ 9. Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
§ 10. Разложение многочлена на множители способом группировки ... 40
§ 11. Формулы сокращенного умножения 41
Контрольные вопросы 44
Глава V
§ 1. Дробь —
§ 2. Целые и дробные выражения 48
§ 3. Тождественное преобразование суммы и разности двух дробей . . 49
§ 4. Тождественное преобразование произведения и частного двух дробей 51
§ 5. Степень дроби 54
Контрольные вопросы —
Глава VI
§ 1. Понятие об иррациональном числе —
§ 2. Развитие понятия о числе. Множество действительных чисел ...
§ 3. Корень k-й степени из действительного числа 57
§ 4. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа 60
§ 5. Арифметические действия с действительными числами 61
§ 6. Преобразования арифметических корней 62
§ 7. Степень с целым и дробным показателем 67
Контрольные вопросы 70
Глава VII
§ 1. Уравнения с одной переменной —
§ 2. Понятие о равносильности уравнений 73
§ 3. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений 74
§ 4. Линейное уравнение с одной переменной, содержащее параметр . . 76
Контрольные вопросы 79
Глава VIII
§ 1. Понятие функции
§ 2. Способы задания функции 81
§ 3. Монотонность функции 82
§ 4. Четные и нечетные функции 83
§ 5. Периодические функции 85
§ 6. Промежутки знакопостоянства и корни функции
Контрольные вопросы 86
Глава IX
§ 1. Геометрические преобразования графиков функций
§ 2. Линейная функция и ее график 89
§ 3. Квадратичная функция и ее график 91
§ 4. Функция у= k/x и ее график 94
§ 5. Дробно-линейная функция и ее график 95
Контрольные вопросы 99
Глава X
§ 1. Квадратные уравнения —
§ 2. Теорема Виета 107
§ 3. Графический способ решения квадратных уравнений 109
§ 4 Уравнения со многими переменными 111
§ 5. Системы уравнений 112
Контрольные вопросы 121
Глава XI
§ 1. Неравенства —
§ 2. Основные свойства неравенств 123
§ 3. Действия с неравенствами 124
§ 4. Доказательства неравенств 126
§ 5. Неравенства, содержащие переменную 129
§ 6. Решение линейных и квадратных неравенств —
Контрольные вопросы 133
Глава XII
§ 1. Системы и совокупности неравенств —
§ 2. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными .... 140
§ 3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 144
§ 4. Решение рациональных неравенств методом промежутков .... 146
Контрольные вопросы 149
Глава XIII
§ 1. Числовая последовательность —
§ 2. Арифметическая прогрессия 151
§ 3. Геометрическая прогрессия 155
§ 4 Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \q\<\ . . . 159
Контрольные вопросы 161
Глава XIV
§ 1. Градусное измерение угловых величин —
§ 2. Радианное измерение угловых величин 163
§ 3. Синус и косинус числового аргумента 165
§ 4. Тангенс и котангенс числового аргумента. Секанс и косеканс числа а 169
§ 5. Основные тригонометрические тождества 171
§ 6. Дополнительные свойства тригонометрических функций .... 174
Контрольные вопросы 175
Глава XV
§ 1. Формулы проведения
§ 2. Формулы сложения 180
§ 3. Формулы двойного угла 182
§ 4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму 186
§ 5. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций 187
§ 6. Тригонометрические функции половинного аргумента 190
§ 7. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 193
Контрольные вопросы 194
Глава XVI
§ 1. Свойства функции y = s\nx и ее график —
§ 2. Свойства функции y = cosx и ее график 203
§ 3. Свойства функции y = igx и ее график 206
§ 4. Свойства функции y = ctgx и ее график 210
§ 5. Нахождение периодов тригонометрических функций 213
Контрольные вопросы 214
Глава XVII
§ 1. Арксинус и арккосинус —
§ 2. Арктангенс и арккотангенс 219
Контрольные вопросы 223
Глава XVIII
§ 1. Решение уравнений вида cosx = a
§ 2. Решение уравнений вида sinjc=a 227
§ 3. Решение уравнений вида igx = a 229
§ 4. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному 233
§ 5. Решение однородных тригонометрических уравнений 235
§ 6. Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени 238
§ 7. Решение систем тригонометрических уравнений 243
Контрольные вопросы 249
Глава XIX
§ 1. Решение тригонометрических неравенств вида sin*>a, sinx<a —
§ 2. Решение тригонометрических неравенств вида cos*>a, cos*<a 256
§ 3. Решение тригонометрических неравенств вида tg*> a, tgx<a . . 260
$ 4. Решение тригонометрических неравенств 263
Контрольные вопросы 266
Глава XX
§ 1. Приращение аргумента и приращение функции —
§ 2. Предел функции 269
§ 3. Непрерывность функции 270
§ 4. Определение производной 272
§ 5. Производная суммы, произведения, частного 276
§ 6. Производная степенной и сложной функций 277
§ 7. Производные тригонометрических функций 281
Контрольные вопросы 285
Глава XXI
§ 1. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции —
§ 2. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы .... 289
§ 3. Общая схема исследования функции 292
§ 4. Задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значения функции 297
Контрольные вопросы 301
Глава XXII
§ 1. Формулы приближенных вычислений —
§ 2. Касательная к графику функции 304
§ 3. Скорость и ускорение в данный момент времени 308
§ 4. Графики гармонических колебаний 309
Контрольные вопросы 310
Глава XXIII
§ 1. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений (на примерах) —
§ 2. Посторонние корни иррационального уравнения (на примерах) . . 312
§ 3. Решение иррациональных уравнений 313
§ 4. Решение иррациональных неравенств 316
Контрольные вопросы 318
Глава XXIV
§ 1. Показательная функция, ее свойства и график —
§ 2. Показательные уравнения 322
§ 3. Показательные неравенства 324
§ 4. Системы показательных уравнений и неравенств 326
Контрольные вопросы 327
Глава XXV
§ 1. Обратная функция —
§ 2. Понятие логарифма 331
§ 3. Свойства логарифмов 332
§ 4. Логарифмическая функция, ее свойства и график 334
§ 5. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию
§ 6. Десятичные логарифмы и их свойства 340
§ 7. Логарифмирование и потенцирование —
Контрольные вопросы 341
Глава XXVI
§ 1. Логарифмические уравнения —
§ 2. Логарифмические неравенства 346
§ 3. Системы логарифмических уравнений и неравенств 349
§ 4. Производные логарифмической и показательной функций. Число е 351
Контрольные вопросы 354
Глава XXVII
§ 1. Понятие первообразной функции —
§ 2. Основное свойство первообразной функции 357
§ 3. Три правила нахождения первообразных 359
§ 4. Криволинейная трапеция и ее площадь 360
Контрольные вопросы 363
Глава XXVIII
§ 1. Формула Ньютона — Лейбница —
§ 2. Основные правила интегрирования 367
§ 3. Вычисление площадей с помощью интеграла 370
§ 4. Механические и физические приложения определенного интеграла 376
Контрольные вопросы 380
Приложение 381