|
Элементарная математика. Руководство для поступающих в вузы. Будак А.Б., Щедрин Б.М.Элементарная математика. Руководство для поступающих в вузыБудак А.Б., Щедрин Б.М.3-е изд., перераб. и доп. - М.: УНЦ ДО, 2001.—690 с. В данной книге содержатся: программа вступительных экзаменов по математике для поступающих в МГУ; методические указания к ответам на теоретические вопросы билетов устного экзамена по математике. Анализ характерных ошибок абитуриентов проводится на примерах вариантов письменных экзаменов предыдущих лет (1993-2000 гг.). Разбор конкретных погрешностей проводится на основе материалов письменных экзаменов 1993-1996 гг. Для самостоятельного разбора и решения предлагаются варианты тех же лет. Задачи устных экзаменов для самостоятельного разбора и решения подобраны за 1989-2000 гг. В четвертом издании книги исправлены замеченные опечатки 3-го издания, уточнены и упрощены доказательства некоторых утверждений и теорем, уточнены и добавлены некоторые определения, расширен список цитируемой литературы. Книга будет полезна поступающим в вузы, слушателям подготовительных курсов, подготовительных отделений, преподавателям, учащимся старших классов, школьным учителям.
Формат: djvu / zip Размер: 9,3 Мб
ОГЛАВЛЕНИЕ: ВВЕДЕНИЕ 3РАЗДЕЛ I. 5 1. ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МГУ им. М.В. ЛОМОНОСОВА 5 1.1. Основные понятие 6 1.2. Содержание теоретической части устного экзамена 7 1.2.1. Алгебра 7 1.2.2. Геометрия 8 1.3. Требования к поступающему 9 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ 10 2.1. Используемые обозначения 10 2.1.1. Алгебра и некоторые формулы векторной алгебры 10 2.1.2. Тригонометрия 16 2.1.3. Геометрия 17 2.2. Формулы и факты элементарной математики 19 2.2.1. Алгебра 19 2.2.2. Геометрия 25 2.2.3. Тригонометрия 32 РАЗДЕЛ II 40 1. КАК ГОТОВИТЬСЯ К ВСТУПИТЕЛЬНЫМ ЭКЗАМЕНАМ ПО МАТЕМАТИКЕ 40 1.1. О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ 40 1.2. О ПОРЯДКЕ ПРОВЕДЕНИЯ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ И О МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К НЕМУ 44 РАЗДЕЛ III 47 1. О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И ПРОВЕДЕНИЯ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В 1993 — 2000 ГОДАХ 47 2. ХАРАКТЕРНЫЕ ОШИБКИ, ДОПУЩЕННЫЕ АБИТУРИЕНТАМИ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТИКЕ (ПИСЬМЕННО) В МГУ НА ФАКУЛЬТЕТЫ ВМиК, ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ, ЭКОНОМИЧЕСКИЙ, ИСАА и ВЫЕЗДНЫХ ЭКЗАМЕНАХ 48 2.1. Общие замечания об ошибках, допущенных абитуриентами в 1993 — 2000 годах 48 2.2. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1993 г 50 2.3. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1994 г 52 2.3.1. Факультет ВМиК 52 2.3.2. Экономический факультет 53 2.3.3. Геологический факультет пробный экзамен (май) 54 2.3.4. Геологический факультет основной экзамен (июль) 55 2.3.5. ИСАА 56 2.4. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1995 г 57 2.4.1. Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель) 57 2.4.2. Факультет ВМиК основной экзамен (июль) 58 2.4.3. Экономический факультет, отделение экономики 59 2.4.4. Экономический факультет, отделение менеджмента 59 2.4.5. Геологический факультет пробный экзамен (май) 60 2.4.6. Геологический факультет основной экзамен (июль) 62 2.4.7. ИСАА 63 2.4.8. Выездные экзамены 64 2.5. Ошибки, допущенные абитуриентами на вступительных письменных экзаменах по математике в 1996 г 65 2.5.1. Факультет ВМиК пробный экзамен (апрель) 65 2.5.2. Факультет ВМиК основной экзамен (июль) 66 2.5.3. Экономический факультет, отделение экономики 66 2.5.4. Экономический факультет, отделение менеджмента 67 2.5.5. Геологический факультет пробный экзамен (май) 68 2.5.6. Геологический факультет основной экзамен (июль) 69 2.5.7. ИСАА 70 2.5.8. Выездные экзамены 71 3. ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ НА ФАКУЛЬТЕТАХ ВМиК, ЭКОНОМИЧЕСКОМ, ГЕОЛОГИЧЕСКОМ и ИСАА в 1993 — 1996 годах 73 3.1. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ (ВМиК) 73 3.2. Экономический факультет МГУ 134 3.3. Геологический факультет МГУ .164 3.4. Институт стран Азии и Африки МГУ (ИСАА) (социально-экономическое отделение) 212 3.5. Варианты выездных письменных экзаменов по математике, проводившихся в Обнинске, Якутске, Надыме, Элисте, Пангоды, Нефтекамске, Магнитогорске, Челябинске, Архангельске, Мурманске, Саяногорске, Петропавловске-Камчатском в 1995 и 1996 годах . . . 231 3.6. Ответы 239 РАЗДЕЛ IV . 248 1. О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ИЗЛОЖЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ 248 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ К ОТВЕТАМ НА ВОПРОСЫ БИЛЕТОВ УСТНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ 249 2.0. Вводная часть 250 2.0.1. План исследования свойств функции у = f(x) 250 2.0.2. Определения 250 2.0.3. О материале, который поступающие могут использовать на экзаменах без доказательств 252 2.1. Алгебра 260 Вопрос 1. Формулы сокращенного умножения 260 Вопрос 2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 260 Вопрос 3. Свойства числовых неравенств 263 Дополнительный материал к вопросу 3 266 Вопрос 4- Свойства линейной функции и ее график 270 Вопрос 5. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. 277 Вопрос 6. Теорема Виета. Теорема о разложении квадратного трехчлена на линейные множители 279 Вопрос 7. Свойства квадратичной функции у = ах2 + Ьх + с и ее график 280 Вопрос 8. Свойства степеней с натуральными и целыми показателями. 282 Вопрос 9. Свойства арифметических корней п - ой степени. Свойства степеней с рациональными показателями 285 Вопрос 10. Неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел. Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел 289 Вопрос 11. Формулы общего члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии 290 Вопрос 12. Формулы общего члена и. суммы п первых членов геометрической прогрессии 291 Вопрос 13. Основное логарифмическое тождество. Логарифмы произведения, степени, частного. Формула перехода к новому основанию 292 Вопрос 14. Свойства показательной функции, и ее график 294 Вопрос 15. Свойства логарифмической функции и ее график. . . . 297 Вопрос 16. Свойства степенной функции с целым показателем и ее график 298 О методе математической индукции (дополнение к вопросам И и 12) 301 2.2. Тригонометрия 303 Вопрос 1. Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 311 Вопрос 2. Формулы сложения: cos(a±/3), sin(a±/3), tg(a±/3), ctg(a±/3) 313 Вопрос 3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций: sin a ± sin /3, cos a ± cos /3, tga ± tg/3, ctga ± ctg/3. Преобразование в сумму произведений: cos a cos/?, sin a sin/3, sin a cos/3 316 Вопрос 4» Формулы двойного и половинного аргументов тригонометрических функций. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Формулы приведения. 317 Вопрос 5. Свойства тригонометрической функции у = sin x и ее график. Решение простейшего тригонометрического уравнения sin х = а. . 322 Вопрос 6. Свойства тригонометрической функции у = cos x и ее график. Решение простейшего тригонометрического уравнения cos х = а. . 323 Вопрос 7. Свойства тригонометрической функции у = tgx и ее график Решение простейшего тригонометрического уравнения tga: = а. . . 323 Вопрос 8. Свойства тригонометрической функции у = ctgx и ее график Решение простейшего тригонометрического уравнения ctgx = а. . . 324 Вопрос 9, Преобразование выражения a sin ж + bcosx с помощью вспомогательного аргумента 324 Свойства тригонометрических функций у = sin х и у = cos x и их графики 326 Свойства тригонометрических функций у = tg х и у = ctg x и их графики 331 2.3. Геометрия ..337 2.3.0. Вводная часть. Об используемой системе основных (первичных) понятий и аксиом; об утверждениях геометрии, которые можно использовать на экзаменах без доказательств; о понятиях луча, отрезка, угла и их свойствах и измерениях 338 I. Аксиомы принадлежности 340 П. Аксиомы порядка 342 III. Аксиомы наложения 363 IV. Аксиомы непрерывности 375 V. Аксиома параллельности прямых 386 VI. О движении в геометрии и его видах 386 VII. О требованиях, предъявляемых к системе аксиом. 388 2.3.1. Основная часть. Ответы на вопросы по геометрии 389 Вопрос 1. Признаки равенства треугольников 389 Вводная часть 389 Основная часть 392 Дополнительная часть . . . 397 Вопрос 2. Свойства вертикальных и смежных углов. Теорема о внешнем угле треугольника 397 Вводная часть . . . 397 Основная часть 399 Дополнительная часть 402 Вопрос 3. Свойства равнобедренного треугольника 404 Вводная часть 404 Основная часть 405 Дополнительная часть 406 Вопрос 4- Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Свойство биссектрисы угла 410 Вводная часть 410 Основная часть 412 Дополнительная часть 414 Вопрос 5. Теоремы о параллельных прямых на плоскости 417 Основная часть 417 Дополнительная часть 421 Вопрос 6. Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника 421 Вводная часть 421 Основная часть 422 Дополнительная часть 426 О внутренней и внешней областях простого многоугольника. . . . 428 Вопрос 7. Признаки параллелограмма. Свойства параллелограмма. 429 Вводная часть 429 Основная часть 433 Дополнительная часть 436 Вопрос 8. Теорема Фалеса. Признаки подобия треугольников. . . . 440 Вводная часть 440 Основная часть 447 Дополнительная часть 452 Вопрос 9. Признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Теорема Пифагора 454 Вводная часть 454 Основная часть 458 Дополнительная часть 462 О тригонометрических функциях величины угла треугольника. . . 462 Вопрос 10. Пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольника. Теорема Пифагора 466 Вводная часть 466 Основная часть 466 Дополнительная часть 468 Вопрос 11. Свойство отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону 469 Основная часть 469 Дополнительная часть 470 Вопрос 12. Свойства средней линии треугольника. Свойства средней линии трапеции 472 Вводная часть 472 Основная часть 474 Вопрос 13. Теорема косинусов для треугольника 476 Основная часть 476 Дополнительная часть 478 Вопрос 14. Теоремы о пересечении медиан, пересечении биссектрис и пересечении высот треугольника 479 Вводная часть 479 Основная часть 483 Дополнительная часть 485 Вопрос 15. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости. Уравнение окружности. . . . 488 Вводная часть 488 Основная часть 492 Дополнительная часть 495 О координатных полуосях, полуплоскостях и четвертях 497 Об окружности и круге, их элементах и свойствах 499 Вопрос 16. Теоремы о вписанных углах. Теорема об угле, образованном касательной и хордой. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность 523 Вводная часть 523 Основная часть 524 Дополнительная часть 531 Вопрос 17. Теоремы об угле между двумя пересекающимися хордами и об угле между двумя секущими, выходящими из одной точки. . . . 536 Вводная часть 536 Основная часть 536 Дополнительная часть 538 Вопрос 18. Равенство произведений длин отрезков двух пересекающихся хорд. Равенство квадрата длины отрезка касательной произведению длины отрезка секущей на длину ее внешней части 542 Вводная часть 542 Основная часть 542 Дополнительная часть 544 Вопрос 19. Теорема об окружности, описанной около треугольника. 545 Вводная часть 545 Основная часть 545 Дополнительная часть 546 Вопрос 20. Теорема синусов для треугольника 548 Вводная часть 548 Основная часть 548 Дополнительная часть 550 Вопрос 21. Свойство касательной к окружности. Равенство касательных, проведенных из одной точки к окружности. Свойство четырехугольника, описанного около окружности 551 Основная часть 551 Дополнительная часть 555 О взаимном расположении двух окружностей на плоскости .... 561 Вопрос 22. Теорема об окружности, вписанной в треугольник. . . . 570 Вводная часть 570 Основная часть 570 Дополнительная часть . . 572 Вопрос 23. Теоремы о параллельных прямых в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости. Признак параллельности плоскостей 572 Вводная часть 572 Основная часть 574 Дополнительная часть 578 Вопрос 24- Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема об общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым. . . .581 Вводная часть 581 Основная часть 584 Дополнительная часть 588 Вопрос 25. Признак перпендикулярности плоскостей. Теорема о трех перпендикулярах 590 Вводная часть 590 Основная часть 592 Дополнительная часть 594 2.3.2. Дополнительная часть 600 2.4. Приложения к методическим материалам вопросов устного экзамена по математике. О выпуклости функций 612 2.4.1. Выпуклость линейной функции 614 2.4.2. Выпуклость квадратичной функции 614 2.4.3. Выпуклость показательной функции 614 2.4.4. Выпуклость логарифмической функции 615 2.4.5. Выпуклость степенной функции хn с отрицательным показателем n 615 2.4.6. Выпуклость степенной функции хn с положительным показателем п 616 2.4.7. Выпуклость тригонометрической функции /(ж) = sin ж . . . 616 2.4.8. Выпуклость тригонометрической функции f(x) = cos ж . . . 617 2.4.9. Выпуклость тригонометрической функции f(x) = tgx .... 618 2.4.10. Выпуклость тригонометрической функции/(ж) = ctgx . . . 619 3. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА УСТНОМ ЭКЗАМЕНЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В ПРЕДЫДУЩИЕ ГОДЫ ... 620 3.1. Задачи с решениями 620 3.2. Задачи для самостоятельного решения 670 3.3. Ответы и указания 675 |
Loading
|