Лекции и задачи по элементарной математике.
Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И.
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1974. - 592с.
Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу элементарной математики. Теоретический материал включает изложение наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры и элементарных функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые недостаточно полно освещены в учебной литературе.
Значительная часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для этой книги. Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы.
Формат: djvu / zip
Размер: 4,2 Мб
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для учащихся старших классов средней школы, для поступающих в вузы, для учителей и студентов пединститутов и университетов. Она содержит теоретический материал по некоторым разделам элементарной математики и задачи. Теоретический материал не охватывает всего школьного курса математики. Мы ограничились изложением некоторых разделов, которые недостаточно полно изложены в учебной литературе.
Некоторые разделы книги содержат теоретический материал, формально выходящий за рамки школьной программы по математике. Так, в гл. I рассказывается о простейших понятиях математической логики, в гл. II несколько полнее, чем это принято в школьных учебниках, излагается теория действительного числа, а в гл. VII, VIII глубже изучаются некоторые вопросы теории элементарных функций. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя, может быть, не так глубоко), и на приемных экзаменах в вузах требуется их ясное понимание. Например, учащиеся" обязаны знать, что такое условие и заключение теоремы, в чем сущность метода доказательства от противного, должны уметь правильно формулировать обратные и противоположные теоремы, уметь делать правильные логические выводы. Поэтому гл. I, в которой эти вопросы подробно рассматриваются, фактически полностью соответствует школьной программе. Во всяком случае, поступающие в вузы с повышенными математическими требованиями и претендующие на оценку «отлично», должны хорошо разбираться в этом. То же можно сказать и по поводу остальных глав книги. Вместе с тем теоретический материал книги изложен достаточно подробно, с большим количеством примеров и потому будет доступен любому успевающему по математике старшекласснику.
Книга содержит свыше тысячи задач, значительная часть которых предлагалась на приемных экзаменах в МФТИ; другая же часть задач составлена авторами при написании книги. В конце книги приведены ответы к задачам, а также указания или решения для наиболее трудных из них.
Авторы
Глава 1. Необходимые и достаточные условия 9
§ 1. Высказывания 9
§ 2. Отрицание 11
§ 3. Неопределенные высказывания 12
§ 4. Знаки общности и существования 14
§ 5. Необходимые и достаточные условия 22
§ 6. Обратная и противоположная теоремы 27
§ 7. Конъюнкция и дизъюнкция 30
§ 8. Некоторые приемы доказательства 33
Задачи к главе I 36
Глава II. Действительные числа 43
§ 1. Рациональные числа 43
§ 2. Свойства множества рациональных чисел 46
§ 3. Примеры применения свойств рациональных чисел 48
§ 4. Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел 51
§ 5. Предел монотонной ограниченной последовательности 56
§ 6. Свойства множества действительных чисел 59
§ 7. Абсолютная величина 63
§ 8. Числовая ось и координаты 65
§ 9. Некоторые числовые множества 68
Задачи к главе II 73
Глава III. Неравенства 76
§ 1. Определения 76
§ 2. Основные свойства неравенств 78
§ 3. Некоторые часто встречающиеся неравенства 82
§ 4. Примеры 85
§ 5. Два замечательных неравенства 89
Задачи к главе III 92
Глава IV. Комплексные числа 100
§ 1. Введение 100
§ 2. Определение комплексного числа 102
§ 3. Свойства действий 104
§ 4. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа 108
§ 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа 110
§ 6. Аргумент комплексного числа 112
§ 7. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 113
Задачи к главе IV 118
Глава V. Квадратный трехчлен 122
§ 1. Квадратный трехчлен и его корни 122
§ 2. График квадратного трехчлена 127
§ 3. Исследование квадратного трехчлена 134
§ 4. Квадратные неравенства 139
§ 5. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена 142
Задачи к главе V 143
Глава VI. Многочлены и алгебраические уравнения 148
§ 1. Многочлен и его значения 148
§ 2. Действия над многочленами 155
§ 3. Алгебраическое уравнение и его корни 163
Задачи к главе VI 172
Глава VII. Функции и графики 176
§ 1. Определение функции 176
§ 2. График функции 182
§ 3. Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность 187
§ 4. Композиция функций 205
§ 5. Обратная функция 209
§ 6. Обратные тригонометрические функции 218
§ 7. Линейные преобразования графика 222
§ 8. Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств 228
Задачи к главе VII 236
Глава VIII. Степенная, показательная и логарифмическая функции 242
§ 1. Степень с натуральным показателем 242
§ 2. Степенная функция с натуральным показателем 244
§ 3. Арифметический корень 247
§ 4. Степень с целым показателем 249
§ 5. Степень с рациональным показателем 253
§ 6. Степень с действительным показателем 258
§ 7. Показательная и логарифмическая функции 260
§ 8. Свойства логарифмов 263
Задачи к главе VIII 266
Глава IX. Уравнения 269
§ 1. Равенство, тождество, уравнение 269
§ 2. Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнении. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений 274
§ 3. Наиболее важные приемы преобразования и методы 281
§ 4. Простейшие иррациональные уравнения 292
§ 5. Логарифмические и показательные уравнения 296
Задачи к главе IX 305
Глава X. Системы уравнений 309
§ 1. Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием данной 309
§ 2. Основные приемы и методы решения систем 312
§ 3. Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными 320
§ 4. Системы симметрических алгебраических уравнений 323
Задачи к главе X 330
Глава XI. Тригонометрические уравнения и системы уравнений 349
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения 349
§ 2. Уравнения вида siny(x)=a,y(sin x)=0 и аналогичные им 352
§ 3. Уравнения, однородные относительно sin х и cos x 357
§ 4. Введение вспомогательного угла 362
§ 5. Метод замены неизвестного 363
§ 6. Метод разложения на множители 370
§ 7. Оценка левой и правой частей уравнения 374
§ 8. Системы тригонометрических уравнений 377
Задачи к главе XI 391
Глава XII. Задачи по планиметрии 400
§ 1. Прямоугольный треугольник 400
§ 2. Правильный треугольник 402
§ 3. Равнобедренный треугольник 403
§ 4. Произвольный треугольник 405
§ 5. Параллелограмм 407
§ 6. Трапеция 407
§ 7. Произвольный четырехугольник и многоугольник 409
§ 8. Окружность 410
Глава XIII. Задачи по стереометрии 412
§ 1. Правильный тетраэдр 412
§ 2. Правильная треугольная пирамида 413
§ 3. Произвольная треугольная пирамида 415
§ 4. Правильная четырехугольная пирамида 417
§ 5. Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида 419
§ 6. Усеченная пирамида 420
§ 7. Параллелепипед 421
§ 8. Призма 422
§ 9. Конус 423
§10. Усеченный конус, цилиндр и шар 424
Ответы к задачам главы I 426
Ответы к задачам главы II 429
Ответы к задачам главы IV 430
Ответы к задачам главы V 431
Ответы к задачам главы VI 433
Ответы к задачам главы VII 433
Ответы к задачам главы VIII 444
Ответы к задачам главы IX 448
Ответы к задачам главы X 449
Ответы к задачам главы XI 455
Ответы к задачам главы XII 464
Ответы к задачам главы XIII 466
Решения и указания к задачам главы II 469
Решения и указания к задачам главы III 470
Решения и указания к задачам главы V 477
Решения и указания к задачам главы VI 477
Решения и указания к задачам главы VII 479
Решения и указания к задачам главы IX 480
Решения и указания к задачам главы X 481
Решения и указания к задачам главы XI 505
Решения и указания к задачам главы XII 517
Решения и указания к задачам главы XIII 541