Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник
Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И.
М.: Изд-во Факториал, 1997. - 219с.
Справочник посвящен задачам, которые для школьников считаются задачами повышенной трудности, требующим нестандартных методов решений. Приводятся методы решений уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонности, ограниченности, четности), применении производной. Книга ставит своей целью познакомить школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привить читателю навыки употреблять нестандартные методы рассуждений при решении задач. Для школьников, абитуриентов, руководителей математических кружков, учителей и всех любителей решать задачи.
Справочное издание.
Формат: djvu / zip
Размер: 970 Кб
- Оглавление:От авторов 7
- Глава I. Алгебраические уравнения и неравенства 8
- 1.1. Разложение многочлена на множители 8
- 1.1.1. Вынесение общего множителя 8
- 1.1.2. Применение формул сокращенного умножения 9
- 1.1.3. Выделение полного квадрата 10
- 1.1.4. Группировка 10
- 1.1.5. Метод неопределенных коэффициентов 10
- 1.1.6. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам 11
- 1.1.7. Метод введения параметра 13
- 1.1.8. Метод введения новой неизвестной 13
- 1.1.9. Комбинирование различных методов 14
- 1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений 15
- 1.3. Симметрические и возвратные уравнения 19
- 1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени 19
- 1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени 20
- 1.3.3. Возвратные уравнения 22
- 1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты 25
- 1.4. Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений 27
- 1.4.1. Умножение уравнения на функцию 27
- 1.4.2. Угадывание корня уравнения 29
- 1.4.3. Использование симметричности уравнения 32
- 1.4.4. Использование суперпозиции функций 33
- 1.4.5. Исследование уравнения на промежутках действительной оси 34
- 1.5. Решение алгебраических неравенств 3 5
- 1.5.1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств 3 5
- 1.5.2. Метод интервалов 38
- Задачи
- Глава П. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 48
- 1.5.3. Обобщенный метод интервалов 41
- 2.1. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком корня 48
- 2.1.1. Возведение в степень 48
- 2.1.2. Уравнения вида -Jf(x) ± -\lg(x) =h(x) 51
- 2.1.3. Уравнения вида yf(x) ± \fg(x) = ф(х) 53
- 2.1.4. Умножение уравнения или неравенства на функцию 56
-
2.2. Уравнения и неравенства, содержащие
неизвестную в основании 59
логарифмов - 2.2.1. Переход к числовому основанию 59
- 2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную 64
- 2.2.3. Уравнения вида log9(x) h(x) = log9(x) g(x), log/(x) ф(х) = log^(x) ф(х) 65
- 2.2.4. Уравнения вида log/(x) g(x) = a 66
- 2.2.5. Неравенства вида log9(x) f(x) > log9(x) g(x) 68
- 2.3. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании и 70 показателе степени
- 2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком 75 абсолютной величины
- 2.4.1. Раскрытие знаков модулей 75
- 2.4.2. Уравнения вида |f(x)|=g(x) 77
- 2.4.3. Неравенства вида |f(x)|<g(x) 78
- 2.4.4. Неравенства вида |f(x)|>g(x) 79
- 2.4.5. Уравнения и неравенства вида |f(x)|=|g(x)|, |f(x)|<g(x) 81
- 2.4.6. Использование свойств абсолютной величины 82
- Задачи
- Глава III. Способ замены неизвестных при решении уравнений 87
- 3.1. Алгебраические уравнения 87
- 3.1.1. Понижение степени уравнения 87
- 3.1.2. Уравнения вида (х + ос)4 + (х +13)4 = с 88
- 3.1.3. Уравнения вида (х- а)(х-р)(х- f)(x- <5)=А 89
- 3.1.4. Уравнения вида (ах2 + Ьхх + с)(ах2 + Ь2х + с) = Ах2 90
- 3.1.5. Уравнения вида (х- а)(х-р)(х- f)(x- S)=Ax^ 91
- 3.1.6. Уравнения вида а(сх2 + рхх + q)2 + b(cx2 + p2x + q) = Ax2 92
- 3.1.7. Уравнения вида Р(х)=0, Р(х)=Р(а-х) 93
- 3.2. Рациональные уравнения 95
- 3.2.1. Упрощение уравнения 95
- 3.2.2. Уравнения вида-------- 1— +----- — +... + —=— = А
- x + pj х + р2 х + рт
- . _ . ,. ос,х + а, а2х + а2 апх + ап п 99
- 3.2.3. Уравнения вида —---------- - + —------ - + ... + —------- - = D
- x + bx x + b2 Х + Ьп
- . _ . ,. a,x + h a2x + b2 ax + bn . 100
- 3.2.4. Уравнения вида-------- ^----- !--- +----- ^---------- + - +------- Г---------- = А
- _ _ _ .. a,x2+hx+c, a2x2 + b2x + c2 a„x2+b„x + c„ . Ю2
- 3.2.5. Уравнения вида —---------- ;----- L + —-------------- +... + —--------------- = А
- а1х + ^>1 а2х + |32 а„х + |3„
- ^ „ ^ чт Ах А2х Апх „ 103
- 3.2.6. Уравнения вида —;—;------------- 1--- -2—---------- У... л------ —---------- = В
- ах +Ьгх + с ах +b2x + c ax +bnx + c
- 3.3. Иррациональные уравнения 104
- 3.3.1. Уравнения вида -Jax + b ± yjcx + d = f(x) 104
- 3.3.2. Уравнения вида Ма-х ±Мх-Ь = d 107
- 3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения 111
- 3.4. Уравнения вида 114
- a0f"(x) + aif"-i(x)g(x) + ... + an_1f(x)g"-1(x) + ang"(x) = 0
-
3.5. Решение некоторых уравнений
сведением их к решению
систем 120
уравнений относительно новых неизвестных - Задачи 127
-
Глава IV. Решение
уравнений и неравенств с использованием
свойств 131
входящих в них функций - 4.1. Применение основных свойств функций 131
- 4.1.1. Использование ОДЗ 131
- 4.1.2. Использование ограниченности функций 134
- 4.1.3. Использование монотонности 138
- 4.1.4. Использование графиков 141
- 4.1.5. Метод интервалов для непрерывных функций 147
-
4.2. Решение некоторых уравнений
и неравенств сведением их к решению
149
систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной - 4.2.1. Уравнения вида /2(х) + /22(х) + ... + /к2(х) = 0,\Мх)\ + \/2(х)\+...+ \/к(х)\=0 150
- 4.2.2. Неравенства вида f2(x) + f2(x) + ... + f2(x)>Q,\Mx)\ + \f2(x)\+...+ \fk(x)\>0 151
- 4.2.3. Использование ограниченности функций 153
- 4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса 155
- 4.2.5. Использование числовых неравенств 158
- 4.3. Применение производной 160
- 4.3.1. Использование монотонности 160
- 4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции 162
- 4.3.3. Применение теоремы Лагранжа 166
- Задачи 166
- Ответы 172
- Дополнение 1
- Некоторые задачи из вариантов вступительных экзаменов по математике в 176
- МГУ им. М. В. Ломоносова
- Дополнение 2
- Образцы вариантов письменных работ, предлагавшихся на вступительных 184
- экзаменах по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова в 1992—1994 гг.
- Ответы к дополнению 2 212
-