Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты

  Болтянский В.Г., Савин А.П.

М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

Книга вводит читателей в круг идей современной математики. В популярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории графов, теории вероятностей и других вопросах.

Издание будет интересно учителям математики. специальная глава посвящена вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач.

В то же время эта книга может служить основой курса математики для студентов гуманитарных специальностей, такой курс был прочитан авторами для психологов.

Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и гимназий могут использовать издание в качестве учебного пособия.

 

Формат: pdf / zip

Размер: 4,62 Мб

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика в системе наук занимает особое место. Ее методами пользуются все существующие науки. «Во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней математики» — в справедливости этого высказывания теперь никто уже не сомневается.
Однако если достижения других наук — физики, химии, биологии, астрономии — систематически освещаются в средствах массовой информации и через короткое время попадают на страницы школьных учебников, то о новых математических открытиях прочесть в газете или журнале не удастся. Единственной математической теоремой, время от времени появлявшейся в широкой печати, была Великая теорема Ферма. Но и к ней исчез интерес у журналистов после появления ее доказательства, занимающего сотни страниц и использующего аппарат, недоступный среднему интеллигенту.
Причиной этому — дедуктивный характер математики. Для того, чтобы понять то или иное достижение в алгебре, геометрии или теории вероятностей, как правило, требуется знание огромного фундамента, на котором появилось это достижение. К тому же математика выработала свой специфический язык, овладение которым сродни овладению трудным иностранным языком.
В конце 40-х годов XX века американские математики Р. Курант и Г. Роббинс предприняли удачную попытку рассказать широкому кругу читателей, в первую очередь учителям математики в школе и школьникам, о содержании и методах современной математики в книге «Что такое математика». Эта книга не раз издавалась и на русском языке.
С тех пор прошло полвека и назрела необходимость еще раз попытаться ответить на вопрос «Что такое математика?». Эта книга написана именно с этой целью. Первый ее том «Дискретные объекты» вы держите в руках. Вторым томом предполагается «Непрерывность», а третьим «Экстремум».

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................................  5

ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................  6

Беседа 1. Предмет математики .........................................................................  6

1.  Мнения о пользе математики ...........................................................................  6

2.  Понятия математики и их возникновение ...........................................................  8

3.  Некоторые виды абстракции ...............................................................................  9

4.  Многоступенчатые абстракции ........................................................................  11

5.  Пространственные и пространственноподобные формы .................................  13

6.  Количественные отношения реального мира ....................................................  16

Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ...................................................  20

Беседа 2. Конечные и бесконечные множества .............................................  20

7.  Множество и его элементы ...............................................................................  20

8.  Взаимно однозначное соответствие ..................................................................  25

9.  Счетные множества ........................................................................................  28

10. Понятие мощности множества ........................................................................  32

Беседа 3. Операции над множествами .............................................................  38

11. Пересечение множеств ....................................................................................  38

12. Объединение множеств ....................................................................................  45

13. Дополнение множеств .....................................................................................  51

14. Произведение множеств ...................................................................................  56

Беседа 4. Отображения ......................................................................................  60

15. Общее понятие отображения и школьная математика ....................................  60

16. Некоторые виды отображений .........................................................................  65

17. Обратное отображение ....................................................................................  69

18. Композиция отображений ...............................................................................  73

19. Классификация .............................................................................................  80

Беседа 5. Упорядоченные множества ..............................................................  88

20. Понятие упорядоченного множества ..............................................................  88

21. Минимальные элементы и математическая индукция .....................................  91

22. Трансфинитные числа и аксиома выбора ........................................................  98

Глава II. КОМБИНАТОРИКА ........................................................................  104

Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи ............................  104

23. Размещения с повторениями .........................................................................  104

24. Системы счисления ........................................................................................  107

25. Размещения без повторений ..........................................................................  110

26. Сочетания без повторений ............................................................................  113

27. Сочетания с повторениями ............................................................................  116

28. Бином Ньютона ...........................................................................................  118

29. Производящие функции .................................................................................  122

30. Принцип Дирихле ..........................................................................................  126

Беседа 7. События и вероятности ..................................................................  130

31. События .....................................................................................................  130

32. Классическое понятие вероятности ...............................................................  134

33. Свойства вероятности ....................................................................................  140

34. Условная вероятность ....................................................................................  144

35. Независимые события и серии испытаний ....................................................  149

Беседа 8. Случайные величины .....................................................................  156

36. Математическое ожидание и дисперсия ........................................................  156

37. Нормальное распределение ...........................................................................  162

38. Закон больших чисел ...................................................................................  167

Беседа 9. Информация .....................................................................................  170

39. Чет — нечет ...............................................................................................  170

40. Количество двоичных цифр ...........................................................................  172

41. Задачи на взвешивание ...................................................................................  176

42. Понятие об энтропии ....................................................................................  179

Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах .................................................  185

43. Графы и их элементы .....................................................................................  185

44. Цепи и циклы в графах ..................................................................................  188

45. Плоские графы ...........................................................................................  194

46. Формула Декарта—Эйлера ............................................................................  197

47. Правильные многогранники и паркеты .........................................................  201

48. Проблема четырех красок .............................................................................  208

49. Ориентированные графы ...............................................................................  210

50. Конечные позиционные игры ........................................................................  214

51. Понятие о сетевом планировании .................................................................  218

ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ ...........................................................................  221

Беседа 11. Теоремы ..........................................................................................  221

52. Существование и общность ...........................................................................  221

53. Структура теоремы ........................................................................................  226

54. Отрицание .................................................................................................  232

55. Необходимое и достаточное условие ............................................................  237

56. Конъюнкция и дизъюнкция ............................................................................  242

Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе ........................................  248

57. Возникновение аксиоматического метода в математике ...............................  248

58. Метрические пространства ...........................................................................  252

59. Коммутативные группы ..............................................................................  256

Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота .........................  262

60. Непротиворечивость и понятие модели ........................................................  262

61. Математические примеры моделей ...............................................................  264

62. Построение аксиоматики геометрии .............................................................  267

63. Геометрия Лобачевского ...............................................................................  270

64. Модель геометрии Лобачевского ..................................................................  274

65. Изоморфизм моделей ...................................................................................  276

66. Полнота аксиоматики ..................................................................................  279

Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ ........................................................................  282

Беседа 14. Инсайт .............................................................................................  282

67. Цикл озарения .............................................................................................  282

68. Сфера достижимости .....................................................................................  286

69. Анализ и синтез ...........................................................................................  291

70. Обратимый анализ .......................................................................................  295

71. Анализ — поиск решения ..............................................................................  297

72. Поиск решения нестандартных задач ............................................................  299

73. Соединение анализа с синтезом .....................................................................  302

Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция .............................................  306

74. Формула наглядности — изоморфизм плюс простота ..................................  306

75. Наглядность и математическая эстетика .......................................................  315

76. Аналогия — общность аксиоматики .............................................................  320

77. Прогнозирование .....................................................................................  326

78. Несколько слов о математической интуиции ................................................  332

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ...........................................................  335