Абловиц М., Сигур Х.
Солитоны и метод обратной задачи
Пер. с англ.-М.: Мир, 1987
Книга известных американских ученых, отражающая состояние в быстроразвивающемся направлении математической физики. В ней систематически изложены основы метода, его приложения к различным задачам, обсуждаются перспективы развития. Авторы приводят большое число задач и упражнений и обширную библиографию (более 500 названий).
Для математиков и физиков различных специальностей, аспирантов и студентов университетов.
Предисловие редактора перевода
Выход в свет в русском переводе настоящей монографии — событие как для физиков-теоретиков, изучающих волны в нелинейных средах, так и для математиков, интересующихся аналитическими методами в теории уравнений с частными производными. Оба эти научные направления — параллельно и при взаимном влиянии — пережили за последние два десятилетия значительный подъем.
Этот подъем был стимулирован нуждами физической науки, в разных областях которой — физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков — в начале шестидесятых годов стали систематически возникать проблемы взаимодействия волн большой амплитуды. Вскоре выяснилось, что, несмотря на различие физических ситуаций, эти задачи имеют с формальной точки зрения много общего как между собой, так и с классической задачей о нелинейных волнах на поверхности тяжелой жидкости. Опыт показал, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Две из них — уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ) и так называемое уравнение «sin-Гордон» — были известны еще в прошлом веке. Уже тогда было установлено, что эти уравнения имеют замечательные локализованные точные решения — солитоны, упоминающиеся в заглавии настоящей книги. Для уравнения sin-Гордон, изучавшегося ранее в связи с его применениями в теории поверхностей постоянной отрицательной кривизны, был открыт способ «размножения» точных решений — преобразование Бэклунда. Один лишь шаг отделял математиков девятнадцатого века от важного математического открытия, которое было сделано только в 1967 г., когда Гарднер, Грин, Краскал и Миура обнаружили связь уравнений КдФ с линейным уравнением Шрёдингера на прямой и открыли метод точного решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными, получивший в советской литературе название «метод обратной задачи рассеяния».
Воистину золотым веком для метода обратной задачи были семидесятые годы. В это время сложился своеобразный международный клуб исследователей, занимавшихся усовершенствованием метода обратной задачи и применением его ко все новым и новым нелинейным уравнениям, имеющим применение в физике и прежде всего — в физике нелинейных волн. Приятно отметить, что одну из ведущих ролей в этом клубе сыграли отечественные исследователи. Сейчас известно несколько десятков таких уравнений (их несколько условно называют интегрируемыми), а литература по методам обратной задачи выросла настолько, что стала труднообозримой даже для узких специалистов. Появились и первые монографии. В 1980 г. в издательстве «Наука» вышла книга В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и Л. П. Питаевского «Теория солитонов», ставшая уже библиографической редкостью. В 1983 г. в издательстве «Мир» вышел перевод книги Дж. Лэма (мл.) «Элементы теории солитонов», а в 1985 г. в том же издательстве — перевод книги Ф. Калоджеро и А. Дегаспериса «Спектральные преобразования и солитоны». Было опубликовано также несколько сборников переводных статей.
"Это, однако, никак не уменьшает важности выхода в свет русского перевода книги М. Абловица и X. Сигура, впервые опубликованной в серии «Исследования по прикладной математике» в 1981 г. в США. Дело в том, что ее авторы были и являются весьма продуктивными участниками развития метода обратной задачи и его приложений. В истории метода важной-вехой было появление в 1974 г. статьи четырех молодых преподавателей высшего технического учебного заведения в штате Нью-Йорк, известного под названием «Кларксон-колледж». Кроме Абловица и Сигура среди этих четверых были еще Д. Кауп и А. Ньюэлл. В их статье был сформулирован один из вариантов метода обратной задачи, получивший название по первым буквам фамилий авторов «метода АКНС». С тех пор все четверо являются, пожалуй, самыми активными, хотя и неизменно дружественными, конкурентами советских исследователей в этой области. Начиная с 1973 г. Кларксон-колледж много раз был источником весьма волнующих и важных новостей. И поэтому книга, написанная двумя ведущими представителями сложившейся там научной школы, не может не привлечь внимания всех интересующихся теорией солитонов.
Эта книга, предлагаемая сейчас русскому читателю, не совсем обычна. Лишь первая глава ее, содержащая изложение базисных результатов метода обратной задачи, и весьма ценное приложение, посвященное применению метода Фурье к линейным уравнениям в сплошной среде-, написаны по академическим стандартам, принятым в научной литературе. Большая же часть монографии написана в гораздо более непринужденной манере и во многом представляет собой размышления авторов о возможностях и перспективах точных аналитических методов в теории нелинейных волн. Многое вынесено в упражнения, выполнить которые далеко не просто. (Авторы сами говорят, что эти упражнения представляют собой скорее список нерешенных задач.)
Благодаря выбранному стилю изложения авторам удается коснуться широкого круга вопросов, почти не затронутых в упомянутых выше книгах. К их числу относятся описание предложенного Хиротой прямого метода вычисления солитонных решений нелинейных уравнений и развитого в работах Уолквиста и Эстабрука «метода псевдопотенциалов», еще ждущего своего настоящего понимания. Авторы излагают теорию уравнения Бенджамина — Оно, имеющего приложение к теории внутренних волн в океане, и касаются многомерных обобщений метода обратной задачи. В книге подробно описаны конечно-разностные аналоги интегрируемых дифференциальных уравнений, не нашедшие пока подробного изложения в советских обзорных статьях. Авторы останавливаются на весьма интересном вопросе о том, по какому критерию можно отличить интегрируемое при помощи метода обратной задачи уравнение от неинтегрируе-мого. Они предлагают для этого эмпирически нащупанный критерий, состоящий в том, что в тех частных случаях, когда уравнение с частными производными сводится к обыкновенному, последнее должно обладать «свойством Пенлеве», т. е. иметь неподвижные критические точки. Нужно отметить, однако, что этот критерий еще нуждается в обосновании.
Кроме чисто математического книга содержит довольно обширный физический материал, относящийся к гидродинамике и нелинейной оптике, вплоть до описания экспериментов по распространению и взаимодействию солитонов на поверхности жидкости. Авторы обсуждают свойства солитонов планетарного масштаба (солитонов Россби) и даже приводят фотографию красного пятна Юпитера, которое они рассматривают в качестве кандидата в такие солитоны. В последнее время появились весьма веские соображения в пользу этого утверждения. В книге подробно рассматривается фундаментальное для нелинейной оптики явление самоиндуцированной прозрачности, в теоретическое изучение которого авторы внесли немалый вклад. Разработанные здесь авторами методы, усовершенствованные в СССР, в недавнее время позволили построить теорию другого важного явления нелинейной оптики — суперфлуоресценции.
В целом книга представляет собой как бы мгновенную фотографию бурноразвивающейся области науки, находящейся на стыке математики и физики, причем фотографию, сделанную активными участниками этого развития. Это делает книгу очень живой и определяет ее ценность, которая сохранится еще долгое время, несмотря на то, что на некоторые положения, сформулированные в книге, мы уже сейчас смотрим по-другому. И здесь большая заслуга принадлежит также М. Абловицу и ёго коллегам. Оба автора бывали в Советском Союзе, участвовали в организованных у нас советско-американских и международных конференциях, с ними поддерживаются тесные научные и дружеские контакты, которые несомненно способствовали работе над переводом. Мы благодарны им за то содействие, которое они оказали при организации перевода книги.
С известными оговорками книгу можно рекомендовать для первоначального знакомства с предметом, хотя основной интерес она представляет для специалистов. Этому в немалой степени способствует содержащаяся в книге обширная библиография, в которой с неплохой степенью полноты представлены и отечественные работы. В русском издании библиография существенно дополнена,
В. Е. Захаров
- Содержание
- Предисловие редактора перевода 5
- Пролог 9
- Глава 1. Обратная задача рассеяния на бесконечном интервале 11
- 1.1. Введение 11
- 1.2. Задача рассеяния для оператора второго порядка и связанные с ней
- интегрируемые уравнения в частных производных
- 19
- 1.3. Вывод линейного интегрального уравнения и обратная задача
- рассеяния на бесконечном интервале
- 26
- 1.4. Зависимость от времени и частные решения 42
- 1.5. Оператор эволюции 56
- 1.6. Законы сохранения и полная интегрируемость 68
- 1.7. Поведение решений на больших временах 84
- Упражнения 103
- Глава 2. МОЗР в других постановках 112
- 2.1. Задачи на собственные значения для операторов более высокого
- порядка и многомерные задачи рассеяния
- 112
- 2.2. Дискретные задачи 135
- 2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортевега-де Фриза 156
- Упражнения 172
- Глава 3. Различные перспективы 176
- Краткий обзор 176
- 3.1. Преобразование Бэклунда 179
- 3.2. Псевдопотенциалы и структуры продолжения 188
- 3.3. Прямые методы построения солитонных решений. Метод Хироты 199
- 3.4. Рациональные решения нелинейных эволюционных уравнений 220
- 3.5. Проблема N тел и нелинейные эволюционные уравнения 233
- 3.6. Методы, использующие линейное интегральное уравнение 248
- 3.7. Трансценденты Пенлеве 267
- 3.8. Возмущения и устойчивость солитонов и уединенных волн
- относительно поперечных возмущений
- 286
- Упражнения 298
- Глава 4. Приложения 314 4.1. КдФ и родственные уравнения 315
- 4.2. Трехволновые взаимодействия 341
- 4.3. Нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения 355
- 4.4. Уравнения типа "sin-Гордон" 370
- 4.5. Квантовая теория поля 384
- Упражнения 388
- Приложение. Линейные задачи 398
- П.1. Преобразование Фурье 398
- П.2. Неадекватность метода преобразования Фурье 423
- Упражнения 435
- Литература 444
- Указатель 474