М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996.— 408 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып.I).

Книга является первым выпуском учебного комплекса `Математика в техническом университете`, состоящего из двадцати выпусков. Знакомит читателя с понятиями функции, предела, непрерывности, которые являются основополагающими в математическом анализе и необходимыми на начальном этапе подготовки студента технического университета. Отражена тесная связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего, с теорией множеств и непрерывных отображений в метрических пространствах).

Учебник написан на базе курса лекций, прочитанных доцентом МГТУ Им. Н. Э. Баумана Морозовой В. Д. Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

ОГЛАВЛЕНИЕ

К читателю 5

Предисловие 13

Краткий исторический очерк 15

Основные обозначения 35

1. Элементы теории множеств 41

1.1. Множества 41

1.2. Подмножества 43

1.3. Множество действительных чисел. Числовая прямая 44

1.4. Операции над множествами 52

1.5. Некоторые основные логические символы 57

1.6. Круги Эйлера 63

Вопросы и задачи 66

2. Отображение множеств. Функции 70

2.1. Понятия отображения и функции 70

2.2. Сюръекция, инъекция и биекция 73

2.3. Обратное отображение 75

2.4. Композиция отображений 76

2.5. Произведение множеств. График отображения .... 77

2.6. Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики 82

2.7. Ограниченные множества 87

Д.2.1. Мощность множества 92

Д.2.2. Неподвижная точка отображения 98

Вопросы и задачи 102

3. Действительные функции действительного переменного 106

3.1. Функция и ее график 106

3.2. Основные способы задания функции 108

3.3. Сложная и взаимно обратные функции 117

3.4. Некоторые свойства функций 121

3.5. Основные элементарные функции 125

3.6. Некоторые элементарные функции 131

Вопросы и задачи 134

4. Основные законы композиции и алгебраические структуры 138

4.1. Законы композиции 138

4.2. Основные алгебраические структуры 144

4.3. Поле комплексных чисел 147

4.4. Кольцо многочленов 156

4.5. Группа подстановок 164

Вопросы и задачи 170

5. Непрерывные отображения метрических пространств 177

5.1. Понятие метрического пространства 177

5.2. Окрестности в метрическом пространстве 179

5.3. Характерные точки множеств 184

5.4. Замкнутые множества 186

5.5. Компактные множества 188

5.6. Определение непрерывного отображения 191

5.7. Свойства непрерывного отображения множеств . . . 196

5.8. Линейно связные множества 202

5.9. Равномерная непрерывность 206

Вопросы и задачи 211

6. Числовые последовательности 215

6.1. Переменные величины 215

6.2. Понятие числовой последовательности 216

6.3. Предел последовательности 220

6.4. Свойства сходящихся последовательностей 222

6.5. Признаки существования предела последовательности 230

6.6. Число е 234

6.7. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности 236

Д.6.1. Предельные точки последовательности 242

Д.6.2. Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши 245

Вопросы и задачи 248

7. Предел функции в точке 251

7.1. Определение предела функции 251

7.2. Односторонние пределы 259

7.3. Признаки существования предела 265

7.4. Свойства функций, имеющих конечный предел . . . 271

7.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 274

7.6. Предел сложной функции 281

7.7. Два замечательных предела 283

7.8. Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции 288

Вопросы и задачи 292

8. Теория пределов 295

8.1. Понятие предела отображения 295

8.2. Некоторые свойства предела отображения 303

8.3. Пределы действительных функций 304

8.4. Признаки существования предела действительной функции 309

Д.8.1. Полное метрическое пространство 314

Д.8.2. Принцип сжимающих отображений 315

Вопросы и задачи 320

9. Непрерывные функции 322

9.1. Непрерывность функции в точке 324

9.2. Свойства функций, непрерывных в точке 328

9.3. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва . . . 332

9.4. Свойства функций, непрерывных в промежутке . . . 336

9.5. Непрерывность основных элементарных функций . . 341

9.6. О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке 345

Д.9.1. Непрерывность и разрывы монотонной функции . . 348

Д.9.2. Доказательство теорем о функциях, непрерывных в промежутке 350

Вопросы и задачи 352

10. Асимптотическое поведение 355

10.1. Сравнение бесконечно малых функций 355

10.2. Эквивалентные бесконечно малые функции 360

10.3. Главная часть бесконечно малой функции 365

10.4. Сравнение бесконечно больших функций 372

10.5. Наклонная асимптота графика функции : 375

10.6. Общие рекомендации по вычислению пределов .... 377

Д.10.1. Асимптотические многочлены 384

Д.10.2. Об использовании символов О и о 387

Вопросы и задачи 390

Список рекомендуемой литературы 393

Предметный указатель 397

Введение в высшую математику. Черкасов А.Н.

М.: Наука, 1964. — 244 с. 

Книга «Введение в высшую математику» предназначается главным образом для самообразования. Она также годится для студентов тех учебных заведений, в которых на математику отведено 120—150 часов. Автор надеется, что, кроме того, эта книга может быть использована и другими учебными заведениями в качестве материала, развивающего математическую интуицию, необходимую при чтении учебников математического анализа. В этой книге далеко не все доказывается, однако нельзя сказать, чтобы в книге давалась только рецептура.

Большое внимание обращено на приложения дифференциального и интегрального исчислений.Неопределенный интеграл дается в минимальном объеме, необходимом для решения задач на приложения определенного интеграла.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие б
Глава I. Координаты  
§ 1. Координаты на прямой 9
§ 2. Координаты на плоскости 14
Упражнения к гл. I 20
Глава II. Линейная функция   
§ 1. Определение и геометрический смысл 21
§ 2. Основное свойство линейной функции 25
§ 3. Задачи на прямую   26
§ 4. Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция 29
§ 5. Система двух уравнений первой степени 30
§ 6. Примеры применения линейной функции 31
Упражнения к гл. II  33
Глава III. Квадратичная функция 
§ 1. Парабола   34
§ 2. Параллельный перенос осей координат 36
§ 3. Исследование функции у = ах² + bх + с      37
Упражнения к гл. III    42
Глава IV. Некоторые функции элементарной математики и простые неявные функции 
§ 1. Тригонометрические функции. Радианная мера угла  43
§ 2. Показательная функция 49
§ 3. Логарифмическая функция 50
§ 4. Некоторые простые неявные функции 51
Упражнения к гл. IV    57
Глава V. Общее определение функции   
§ 1. Примеры и определения 59
§ 2. Область существования функции 63
§ 3. Функция от функции, или сложная функция  63
§ 4. Приращение функции  65
Упражнения к гл. V   66
Глава VI. Пределы   
§ 1. Примеры 67
§ 2. Исследование функции при значениях независимого переменного, как угодно малых по абсолютной величине 69
§ 3. Определения предела  71
§ 4. Свойства пределов 74
§ 5. Предел lim (l+x)x . Число е   78
§ 6. Непрерывные функции  79
§ 7. Решение задач на нахождение пределов  81
Упражнения к гл. VI   87
Глава VII. Производная   
§ 1. Скорость 88
§ 2. Касательная 90
§ 3. Производная 91
§ 4. Правила вычисления производных  94
§ 5. Простейшие применения производной 104
§ 6. Вторая производная. Производные высших порядков 108
Упражнения к гл. VII   109
Глава VIII. Применение производной к исследованию функций  
§ 1. Возрастание и убывание функции  110
§ 2. Исследование функций на возрастание и убывание  113
§ 3. Максимальные и минимальные значения функции  115
§ 4. Выпуклость и вогнутость линии. Точка перегиба   124
§ 5. Общий план исследования функций и построения графиков 127
§ 6. Связь между графиком функции и графиком ее производной 133
Упражнения к гл. VIII  134
Глава IX. Дифференциал   
§ 1, Бесконечно малые величины 136
§ 2. Дифференциал  138
§ 3. Применение к приближенным вычислениям  141
§ 4. Дифференциал площади криволинейной трапеции    143
§ 5. Применение дифференциала к различным задачам  146
Упражнения к гл. IX   150
Глава X. Неопределенный интеграл   
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл  151
§ 2. Преобразования неопределенных интегралов  154
§ 3. Замена переменного интегрирования (метод подстановки) 157
Упражнения к гл. X    160
Глава XI. Определенный интеграл  
§ 1. Приближенное вычисление площадей криволинейных трапеций 161
§ 2. Определенный интеграл 166
§ 3. Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции  167
§ 4. Свойства определенного интеграла 169
Упражнения к гл. XI    172
Глава XII. Задачи на применение определенного интеграла  
§ 1. Общие замечания  173
§ 2. Площадь криволинейной трапеции  174
§ 3. Объем тела вращения 179
§ 4. Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений 181
§ 5. Вычисление давления жидкости 183
§ 6. Вычисление работы силы 186
§ 7. Длина дуги   188
Упражнения к гл. XII   190
Глава XIII. Приближенное вычисление определенных интегралов  
§ 1. Вычисление при помощи интегральных сумм   192
§ 2. Формула Симпсона  194
Глава XIV. Функции многих переменных. Координаты в пространстве. Поверхности 
§ 1. Функции многих переменных 201
§ 2. Координаты в пространстве  202
§ 3. Некоторые простые уравнения  205
§ 4. Поверхности   206
§ 5. Линии уровня   211
§ 6. Частные производные    213
Упражнения к гл. XIV      217
Глава XV. Дифференциальные уравнения 
§ 1. Семейство функций  219
§ 2. Основные определения  222
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка   224
§ 4. Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике 230
§ 5. Движение точки на плоскости. Система дифференциальных уравнений 235
Упражнения к гл. XV    238
Ответы 240
Приложение к § 1 гл. XI    243

Высшая математика. Шипачев В.С.4-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 1998.— 479 с.

В учебнике излагаются элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.Для студентов высших учебных заведений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Часть первая. Математический анализ функций одной переменной .... 10
Глава 1. Вещественные числа 10
§ 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10
§ 2. Вещественные числа и их основные свойства 11
§ 3. Геометрическое изображение вещественных чисел 14
1. Изображение вещественных чисел точками на координатной прямой (14). 2. Некоторые наиболее употребительные числовые множества (16)
§ 4. Грани числовых множеств 17
§ 5. Абсолютная величина числа 18
Глава 2. Предел последовательности 20
§ 1. Числовые последовательности 20
1. Числовые последовательности и арифметические действия над ними (20). 2. Ограниченные и неограниченные последовательности (21). 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (22). 4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (24)
§ 2. Сходящиеся последовательности 25
1. Понятие сходящейся последовательности (25). 2. Основные свойства сходящихся последовательностей (26). 3. Предельный переход в неравенствах (29)
§ 3. Монотонные последовательности 30
1. Определение и признак сходимости монотонных последовательностей (30). 2. Число е (32)
§ 4. Теорема о вложенных отрезках 33
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости 34
§ 1. Прямоугольная система координат 34
§ 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости .... 35 
1. Расстояние между двумя точками (35). 2. Площадь треугольника (36). 3. Деление отрезка в данном отношении (36)
§ 3. Полярные координаты 38
§ 4. Преобразование прямоугольных координат 39
1. Параллельный сдвиг осей (39). 2. Поворот осей координат (40)
§ 5. Уравнение линии на плоскости 41
§ 6. Линии первого порядка 43
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (43). 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом (45). 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (45). 4. Угол между двумя прямыми (46). 5. Условия параллельности н перпендикулярности двух прямых (46). 6. Общее уравнение прямой (47). 7. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой ев отрезках» (48). 8. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (49)
§ 7. Линии второго порядка 52
1. Эллипс (52). 2. Гипербола (55). 3. Директрисы эллипса и гиперболы (59). 4. Парабола (62)
§ 8. Общее уравнение линии второго порядка 64
1. Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду (64). 2. Инвариантность выражения АС—В2. Классификация линий второго порядка (66)
Глава 4. Функции одной переменной 69
§ 1. Понятие функции 69
1. Определение функций (69). 2. Способы задания функций (70). 3. Классификация функций (72)
§ 2. Предел функции 73
1. Предел функций при х-*хо (73). 2. Предел функции при лс-кго— и при JC—»-лсо+ (76). 3. Предел функции при х-+°о, при *->-—оо и при д-^ + оо (77)
§ 3. Теоремы о пределах функций 78
§ 4. Два замечательных предела 79
1. Первый замечательный предел (79). 2. Второй замечательный пре¬дел (81)
§ 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 82
1. Бесконечно малые функции (82). 2. Бесконечно большие функции (83)
§ 6. Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций ... 84
§ 7. Понятие непрерывности функций 87
1. Определение непрерывности функции (87). 2. Арифметические действия над непрерывными функциями (88)
§ 8. Непрерывность некоторых элементарных функций 88
1. Непрерывность рациональных функций (89). 2. Непрерывность тригонометрических функций (89). 3. Непрерывность функции f(x) = }х\ (90)
§ 9. Классификация точек разрыва функции 91
1. Определение и классификация точек разрыва функции (91), 2. Кусочно-непрерывные функции (91)
§ 10. Основные свойства непрерывных функций 92
1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции (92). 2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение (92). 3. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке (94). 4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней (96). 5. Понятие равномерной непрерывности функции (97). 6. Теорема о равномерной непрерывности функции (98)
§ 11. Понятие сложной функции 100
§ 12. Понятие обратной функции 101
1. Определение обратной функции (101). 2. Теорема о непрерывности обратной функции (102)
Глава 5. Дифференцирование 104
§ 1. Понятие производной 104
1. Определение производной (104). 2. Геометрический смысл производной (105). 3. Физический смысл производной (106). 4. Правая и левая производные (107)
§ 2. Понятие дифференцируемое™ функции 107
1. Понятие дифференцируемое™ функции в данной точке (107). 2. Связь между понятиями дифференцируемое™ и непрерывности (108)
§ 3. Понятие дифференциала 109
1. Определение и геометрический смысл дифференциала (109). 2. Приближенные вычисления с помощью дифференциала (110)
§ 4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного 111
§ 5. Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции 112
1. Производная постоянной функции (112). 2. Производная степенной функции (112). 3. Производные тригонометрических функций (113). 4. Производная логарифмической функции (114)
§ 6 Теорема о производной обратной функции 114
§ 7. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций 115
1. Производная показательной функции (115). 2. Производные обратных тригонометрических функций (116)
§ 8. Правило дифференцирования сложной функции 116
§ 9. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 118
1. Понятие логарифмической производной функции (118). 2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем (119). 3. Таблица производных простейших элементарных функций (120)
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков 120
1. Понятие производной л-го порядка (120). 2. Формулы для л-х производных некоторых функций (121). 3. Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций (122). 4. Дифференциалы высших порядков (123)
§ 11. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование . . 125

1. Параметрическое задание функции (125). 2. Дифференцирование функции, заданной параметрически (126)
Глава 6. Применение дифференциального исчисления к исследованию бункций 127
§ 1. Основные теоремы дифференциального исчисления 127
§ 2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 131
1. Раскрытие неопределенности вида -JJ- (131). 2. Раскрытие неопределенности вида (133). 3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие (134)
§ 3. Формула Тейлора 135
1. Формула Тейлора (135). 2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена (137). 3. Формула Маклорена* (137). 4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена (138). 5. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов (139). 6. Вычисление числа е (139)
§ 4. Исследование поведения функций и построение графиков . . . 140 
1. Признак монотонности функции (140). 2. Отыскание точек локального экстремума функции (140). 3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции (143). 4. Асимптоты графика функции (146). 5. Схема исследования графика функции (149)
§ 5. Интерполяция функций 151
1. Постановка задачи (151). 2. Интерполяционная формула Лагранжа (152). 3. Интерполяционная формула Ньютона (153). 4. Остаточный член интерполяции (155)
§ 6. Методы приближенного вычисления корней уравнений .... 156 
1. Метод «вилки» (156). 2. Метод касательных (157)
Глава 7. Неопределенный интеграл 159
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл 159
1. Понятие первообразной функции (159). 2. Неопределенный интеграл (160)
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла 161
§ 3. Таблица основных интегралов 162
§ 4. Основные методы интегрирования 163
1. Непосредственное интегрирование (163). 2. Метод подстановки (163). 3. Метод интегрирования по частям (165)
§ 5. Интегрирование рациональных функций 167
§ 6. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций 172
1. Интеграл вида \Л(*. ~\1—~Т~т)^х С^2). 2. Интеграл вида ( R\x, -^ ах2 + bx + с) Ах (173). 3. Интеграл вида (/?(siruc, cos*)dJC (175). 4. Интеграл вида t/?(e')djc (176)
Глава 8. Определенный интеграл 177
§ 1. Определение определенного интеграла 177
§ 2. Условия существования определенного интеграла 179
1. Ограниченность интегрируемой функции (179). 2. Суммы Дарбу (180). 3. Свойства сумм Дарбу (181). 4. Необходимое и достаточное условие интегрируемости (183) 
§ 3. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций 184
§ 4. Основные свойства определенного интеграла 186
§ 5. Оценки интегралов. Формула среднего значения 188
1. Оценки интегралов (188). 2. Формула среднего значения (190)
§ 6. Интеграл с переменным верхним пределом 191
§ 7. Формула Ньютона—Лейбница 192
§ 8. Замена переменной в определенном интеграле 194
§ 9. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле 196
§ 10.. Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла 197
1. Площадь криволинейной трапеции (197). 2. Площадь криволинейного сектора (200). 3. Длина дуги кривой (201). 4. Объем тела вращения (204). 5. Площадь поверхности вращения (205). 6. Работа переменной силы (207)
§ 11. Несобственные интегралы 209
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (209). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (211). 3. Признак сходимости несобственных интегралов (212). 4. Пример использования несобственного интеграла (214)

$ 12. Приближенное вычисление определенных интегралов .... 215

1. Формула трапеций (215). 2. Формула парабол (217)
Часть вторая. Математический анализ функций нескольких нерешенных 222
Глава 9. Аналитическая геометрия в пространстве 222
§ 1. Прямоугольная система координат в пространстве 222
§ 2. Понятие вектора 223
1. Скалярные и векторные величины (223). 2. Определение вектора (223). 3. Проекция вектора на ось (224). 4. Проекции век¬тора на оси координат (225). 5. Направляющие косинусы вектора (225) 
§ 3. Линейные операции иад векторами и их основные свойства 226

1. Сложение двух векторов (226). 2. Произведение вектора иа число (227). 3. Основные свойства линейных операций (227)
§ 4. Теоремы о проекциях векторов 229
§ 5. Разложение вектора по базису 231.
§ 6. Скалярное произведение векторов 231
1. Определение и основные свойства скалярного произведения (231). 2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов (234)
§ 7. Векторное произведение 235
1. Определение векторного произведения (235). 2. Основные свойства векторного произведения (236). 3. Выражение векторного произведения через координаты векторов (238)
§ 8. Смешанное произведение трех векторов 239
1. Определение и геометрический смысл смешанного произведения (239). 2. Выражение смешанного произведения через координаты векторов (240)
§ 9. Уравнения поверхности и линии 241
§ 10. Уравнение цилиндрической поверхности 242
§ 11. Уравнения плоскости 244
1. Общее уравнение плоскости (244). 2. Угол между двумя плоскостями (245). 3. Условие параллельности плоскостей (245). 4. Условие перпендикулярности плоскостей (246). 5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости (246)
§ 12. Уравнение прямой 248
1. Канонические уравнения прямой (248). 2. Параметрические уравнения прямой (250). 3. Угол между прямыми (250). 4. Условия параллельности прямых (251). 5. Условия перпендикулярности прямых (251). 6. Расстояние то точки до прямой (251).
§ 13. Взаимное расположение прямой и плоскости 251
1. Условия параллельности и перпендикулярности (251). 2. Угол между прямой н плоскостью (252)
§ 14. Поверхности второго порядка 252
1. Эллипсоид (252). 2. Однополостный гиперболоид (253). 3. Двуполостный гиперболоид (254). 4. Эллиптический параболоид (255). 5. Гиперболический параболоид (256). 6. Конус нторого порядка (258)
Глава 10. Элементы высшей алгебры 259
§ 1. Матрицы 259
1. Определение матрицы (259). Свойства матриц (261)
§ 2. Определители 263
1. Определение определителя (263). 2. Свойства определителей (264)
§ 3. Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 268
§ 4. Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы 272
Глава 11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных 275
§ 1. Понятие функции нескольких переменных 275
1. Вводные замечания (275). 2. Определение функции двух и более переменных (275)
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных 277
§ 3. Предел функции двух переменных 278
§ 4. Непрерывность функции двух переменных 281
1. Определение непрерывности функции двух переменных (281). 2. Основные свойства непрерывных функций двух переменных (282)
Глава 12. Частные производные и дифференцируемость функций нескользких переменных 284
§ 1. Частные производные 284
§ 2. Понятие дифференцируемости функции 285
1. Определение диффереицируемости (285). 2. Необходимые условия дифференцируемое™ (286). 3. Достаточные условия диффереицируемости (287)
§ 3. Производные сложных функций 288
§ 4. Дифференциал функции 29!
1. Определение дифференциала (291). 2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала (292)
§ 5. Производная по направлению. Градиент 293
§ 6. Частные производные н дифференциалы высших порядков .... 296 1. Частные производные высших порядков (296). 2. Дифференциалы высших порядков (298)
§ 7. Формула Тейлора для функции двух переменных 299
§ 8. Экстремумы функции двух переменных 301
1. Определение экстремума (301). 2. Необходимые условия экстремума (301). 3. Достаточные условия экстремума (302)
§ 9. Метод наименьших квадратов 304
Глава 13. Интегрирование 307
§ 1. Двойные интегралы 307
1. Определение и условия существования двойного интеграла (307). 2. Геометрический смысл двойного интеграла (308). 3. Свойства двойного интеграла (309).
§ 2. Сведение двойного интеграла к повторному 310
1. Случай прямоугольной области (310). 2. Случай криволинейной области (312)
§ 3. Замена переменных в двойном интеграле 314
§ 4. Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов 317
1. Вычисление объема (317). 2. Вычисление площади (317). 3. Вычисление площади поверхности (319). 4. Вычисление массы пластинки (321). "5.. Вычисление координат центра масс пластинки (322). 6. Вычисление момента инерции пластинки (323)
§ 5. Криволинейные интегралы 324
1. Определение криволинейного интеграла первого рода (325). 2. Вычисление криволинейных интегралов первого рода (327). 3. Определение криволинейного интеграла второго рода (328). 4. Вычисление криволинейных интегралов второго рода (332). 5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода (333)
§ 6. Формула Грииа 334
§ 7. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 336
§ 8. Интегрирование полных дифференциалов 340
§ 9. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода . . 341 1. Вычисление площади с помощью формулы Грина (344). 2. Работа силы (345)
§ 10. Тройные интегралы 346
1. Определение тройного интеграла (347). 2. Вычисление тройных интегралов (347). 3. Замена переменных в тройном интеграле (349). 4. Некоторые приложения тройных интегралов (352)
§ 11. Поверхностные интегралы 353
1. Определение поверхностного интеграла первого рода (353). 2. Вычисление поверхностных интегралов первого рода (355). 3. Определение поверхностного интеграла второго рода (356). 4. Вычисление поверхностных интегралов второго рода (359). 5. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода (361)
§ 12. Формула Остроградского 362
§ 13. Формула Стокса 365
§ 14. Скалярное и векторное поля 368
1. Скалярное поле (368). 2. Векторное поле (369). 3. Потенциальное поле (369). 4. Задача о потоке векторного поля (371). 5. Дивергенция (372). 6. Циркуляция. Ротор (374). 7. Оператор Гамильтона (376)
Часть третья. Ряды, дифференциальные уравнения 379