Жанр: Монография
Язык: Русский
Издательство: М.: Наука
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Количество страниц: 568

Книга содержит, во-первых, классические результаты по качественной теории дифференциальных уравнении на плоскости, в основном принадлежащие Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим классическим результатам (см. гл. VII — XI).
Книга является, с одной стороны, законченным целым, а с другой, может рассматриваться как реализация первого тома задуманной А. А. Андроновым монографии но динамическим системам второго порядка и их приложениям. В эту монографию кроме материала, содержащегося в настоящей книге, должны были войти: теория грубых динамических систем, работы А. А. Андронова по теории бифуркации динамических систем и приложения методов теории бифуркаций к различным задачам теории колебаний. 

Предисловие .......................... 9

Введение............................... 11

Глава I. Динамические системы в плоской области и на сфере . . IS

§ 1. Динамические системы в плоской области........... Ift

1. Введение (19). 2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в пространстве R3 (20). 3. Простейшие свойства решений системы (I) (21). 4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у) (24). 5. Разбиение области G фазовой плоскости на траек­тории. Некоторые элементарные сведения о траекториях (20). 6. Сопостав­ление геометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретации на фазовой плоскости (30). 7. Направление на траектории. Изменение параметризации (31). 8. Терминология и обозначения (34). 9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (30). 10. За­мена переменных (37). ii. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе (38). 12. Изоклины (41). 13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл», использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем (41). 14. Примеры (43). 15. Замечания по поводу примеров (56).

§ 2. Динамические системы на сфере ............... 58

I. Введение (58). 2. Определение динамической системы па сфере (58). 3. Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере (01). 4. Ре­шения и траектории динамической системы на сфере (61). 5. Примеры динамических систем на сфере (66).

Глава II. Предельные точки множества. Основные свойства траекторий 69

Введение............................. 69

§ 3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траекто­рий с циклами и дугами без контакта............. 71

i. Дуга без контакта (71). 2. Обобщенная дуга без контакта (73). 3. Пере­сечение траектории с дугой без контакта (73). 4. Расположение траекто­рий в окрестности дуги без контакта (74). 5. Некоторые свойства функций Ф(*. s), Ч?(<, б) (77). 6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соответствия (81). 7. Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной общей точки (86). 8. Функция последования (90). 9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без кон­такта, и ограниченные ими области (92). 10. Цикл без контакта (У5).

II. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, за­полненную циклами без контакта (96). 12. Цикл однократного пересече­ния (97). 13. Дифференцирование функции в силу системы (I) (98). 14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками траектории, пересекающей дугу без контакта (99).

§ 4. Предельные точки и множества. Основные свойства траекторий . . . 102 1. Предельные точки полутраектории и траектории (102). 2. Примеры пре­дельных точек (104). 3. Основные свойства множества предельных точек (104). 4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на пло­скости или на сфере (106). 5. Некоторые свойства предельных траекторий (109). 6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное число состояний равновесия. Возможные типы траекторий (112). 7. Теорема о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории (114). 8. Осно­вная теорема о состоянии равновесия (118). 9. Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в окрестности предельного цикла (119).

Г л~а в а III. Основные понятия качественной теории динамических систем

| 5. Количественное и качественное исследование динамических систем J22

1. Введение (122). 2. Топологическая структура динамической системы (124). 3. Локальная топологическая структура (131). 4. Свойства разбиения иа траектории в целом и эффективные методы качественного исследования (133).

2. Глава IV. Простое .состояние равновесия................ 135

Введение............................. 135

§ 6. Приведение динамической системы в окрестности иростого состоя­ния равновесия к каноническому виду........... 137

1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние равновесия (137). 2. Приведение динамической системы в окрестности простого состоя­ния равновесия к каноническому виду (139). 3. Инвариантность характери­стического уравнения при регулярном преобразовании (144). 4. Некоторые предварительные замечания относительно возможной топологической струк­туры простых состояний равновесия (145).

§ 7. Расположение траекторий в окрестности простых состояний равно­весия с характеристическими корнями, имеющими не равные нулю действительные части...................... 146

1. Случай 1): характеристические корпи Kt и Яг действительны и одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел) (146). 2. Случай 2): характеристи­ческие корни — комплексные сопряженные: %t = а + гр, Я,г = а — ip, Р Ф О, а ф О (состояние равновесия типа фокус) (151). 3. Случай 3): харак­теристические корни Хх и Я.2 действительны и различных знаков, т. е. Я.Дг < О (состояние равновесия типа седло) (153). 4. Устойчивые и неустойчивые со­стояния равновесия (160). 5. Замечания по поводу других методов иссле­дования характера состояний равновесия с не равными нулю действитель­ными частями характеристических корней (161). 6. Примеры (162). 7. Про­стейшие примеры сложных состояний равновесия (164).

§ 8. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими

корнями............................ 166

1. Вводные замечания (166). 2. Переход к полярной системе координат (166). 3. Сопоставление траекторий системы (I) и интегральных кривых уравнения (7) (170). :4. Построение функции последования на полупрямой 6=const (172). 5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей через точку достаточно малой окрестности состояния равновесия (174).

6. Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой окрест­ности состояния равновесия О (176). 7. Примеры (179).

§ 9. Направления, в которых траектории стремятся к простым состоя-

штм равновесия...................... '°2

1. Основное определение (182). 2. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия (185). 3. Узел с различными характеристическими корнями (187). 4. Дикри-тичсский узел (191). 5. Вырожденный узел (195). 6. Седло и фокус (199).

7. Сводка сведений о простых состояниях равновесия с не равными нулю действительными частями характеристических корней (200). 8. Примеры (203).

Глава V. Теория индекса и ее приложения к динамическим системам .... 205 Введение.............................. 205

§ 10- Индекс Пуанкаре ...................... 205

1. Вращение векторного поля (205). 2. Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на ней векторному полю (208). 3. Поле каса­тельных к замкнутой кривой (212). 4. Определение индекса, данное Пуан­каре (213).

§ 11. Приложение теории индекса к динамическим системам..... 214

1. Две основные теоремы (214). 2. Ивдекс изолированной особой точки (214). 3. Индекс как криволинейный интеграл (216). 4. Вычисление индек­сов простых состояний равновесия динамической системы (217).

Глава VI. Некоторые приемы качественного исследования конкретных дина­мических систем.......................... 220

Введение.............................. 220

6 12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий 223

1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, заполненных замкнутыми траекториями (223). 2. Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить непосредственно на основании расположения изо­клин горизонтальных и вертикальных наклонов и характера поля между ними (224). 3. Критерий Дюлака и Бендиксона (226). 4. Применение индек­сов Пуанкаре'^ циклов однократного пересечения к решению вопросов суще­ствования предельных циклов (229). 5. Топографическая система кривых и контактная кривая (231). 6. Примеры (232).

§ 13. Поведение траекторий на бесконечности............ 237

1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона (237). 2. Рассмотрение динамической системы, правые части которой многочлены на «сфере Пуан­каре» (241). 3. Пример исследования экватора (249).

§ 14. Использование методов приближенного вычисления для опреде­ления качественной структуры разбиения на траектории .... 249

1. Общие замечания (249). 2. Метод изоклин (250). 3. Специфика исполь­зования численных методов при определении качественной структуры раз­биения на траектории (252). 4. Случай, когда доказательство существования предельного цикла возможно при помощи приближенного построения дуг траекторий (253). 5. Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории принципиально не может быть установлена путем приближен­ного вычисления (построения) траекторий (254).

Глава VII. «Особые» траектории и ячейки динамической системы . . . 256

Введение............................. 256

§ 15. Орбитно-устойчивые и орбитгсо-неустойчивые траектории и нолу-

траектории........................ . 257

1. Основные определения (257). 2. Простейшие примеры орбитно-устойчи-вых и орбитно-неустойчивых траекторий (260). 3. Возможные типы орбитно-неустойчивых полутраекторий и траекторий (262). 4. Вспомогательные леммы о поведении полутраекторий в окрестности состояния равновесия (263). 5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия (266). 6. Сепаратрисы состояния равновесия (275). 7. Некоторые вспомогательные предложения (277). 8. Полутраектории, среди предельных точек которых есть отличные от состояний равновесия (2Я0). 9. Возможные типы особых и неособых траекторий в случае конечного числа состояний равновесия. Случай конечного числа особых траекторий (284).

§ 16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа особых

траекторий.......................... 285

1. Вводные замечания (2К.)). 2. Нормальная граница ограниченной обла­сти G*, содержащейся в области определения динамической системы (286).

3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам (287).

4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых элементов) (288). 5. Случай динамической системы на сфере (290). 6. Пове­дение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям (291). 7. Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых траекториях (296). 8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же ячейки (299). 9. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями (300). 10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями (304). 11. Свойства границы двусвязной ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями (307). 12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги (313). 13. Пол­ное качественное исследование динамической системы. Схема динамической системы (315).

Глава VIII. Схема состояния равновесия............... 316

Введение.............................. 316

§ 17. Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одпа полу­траектория ......................... 317

1. Вспомогательные предложения (317). 2. Возможный характер криволи­нейного сектора. Гиперболический (седлопой), параболический п эллипти­ческий сектор (322). 3. Леммы об эллиптических областях (328).

§ 18. «Элементарные области». Типы элементарных областей .... 330

1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе (330). 2. Про­ведение дуг без контакта в эллиптической области (ЗЗС). 3. Правильная седловая область (337). 4. Топологическая тождественность разбиений на траектории элементарных областей одинакового типа (339).

§ 19. Локальная и полная (глобальная) схема состояния равновесия 346

1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния равновесия, не являющегося центром (3 46). 2. Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия (349). 3. Локальная схема состояния равновесия, не являющегося центром (35 1). '4. Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не являющегося центром (356). 5. Состояние равновесия типа центр (360).

.Глава IX. Методы исследования некоторых типов сложных состояний

равновесия............................. 362

Введение............................. 362

§ 20. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоя­нию равновесия....................... 363

1. Переход к полярным координатам (363). 2. Общий случай (364). 3. Осо­бый случай (367). 4. Примеры (372).

§ 21. Топологическая структура сложного состояния равновесия в слу­чае а=Р-х (0,0) + Q'y (0, 0)=^0................. 372

1. Вспомогательные преобразования и леммы (372). 2. Возможные тополо­гические структуры сложного состояния равновесия вслучаес 4- 0 (377).

§ 22. Топологическая структура сложного состояния равновесия в слу­чае сг=0........................... 385

i. Вспомогательные леммы (385). 2. Возможные топологические структуры сложного состояния равновесия в случае с = 0 (397). 3. Упрощение иссле­дования. Примеры (404).

Глава X. Схема предельного континуума и границы области G* .... 411

Введение . : . ......................... 411

§ 23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих

в границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями .... 412 1. Свойства ш- и а-предельных континуумов, не являющихся состоянием равновесия (412). 2. Нуль-предельные континуумы и их свойства (417). 3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, являющихся про­должением одна другой (420).

§ 24. Локальная схема предельного континуума и каноническая окрест­ность ............................. 421

1. ш (а)-перечисление ш-, а- и 0-предельных континуумов (421). 2. Тож­дественность перечислений двух предельных континуумов (423). 3. «Одно­сторонняя» каноническая окрестность предельного континуума (424). 4. Ло­кальные схемы ю-, а- и 0-предельных континуумов и теорема о тождест­венности разбиения на траектории канонических окрестностей континуумов с одинаковыми локальными схемами (426).

§ 25. Полная схема предельного континуума ............ 432

i. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими предельный континуум (432). 2. Односторонние и двусторонние предельные континуумы (435). 3. Взаимное расположение континуумов и их канониче­ских кривых (439). 4. Свободные и несвободные континуумы (441). 5. Пол­ная (глобальная) схема предельного континуума (442).

§ 26. Схема границы области ................... 447

i. Угловые точки граничных кривых (447). 2. Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух схем границы (449).

Глава XI. Схема динамической системы и основная теорема....... 453

Введение.............................. 453

§ 27. Правильная система канонических окрестностей. со(а)-дуги

и со(а)-циклы......................... 454

1. Обозначения для особых элементов динамической системы (454). 2. Пра­вильные системы канонических окрестностей (454). 3. Элементарные дуги и свободные циклы без контакта (458). 4. Сопряженные элементарные со­и а-дуги и сопряженные свободные и- иа-циклы (461).

I 28. Сопряженные свободные о(а)-предельные и нуль-предельные кон­тинуумы и области между их каноническими окрестностями . . . 463

1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных ь>- и а-циклов (463). 2. Сопряженные W- и а-предельные континуумы (465). 3. Сопряженные нуль-предельные континуумы (466). 4. Траектории, проходящие через концы сопряженных w- и а-дуг (467). 5. Леммы о граничных особых эле­ментах и и- и а-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта (469). 6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соеди­няющих концы сопряженных (о- и а-дуг (472). 7. Области между сопряжен­ными каноническими кривыми и между сопряженными элементарными дугами (478).

§ 29. Схема динамической системы и теорема о тождественности топо­логических разбиений на траектории............. 481

1. Схема динамической системы (481). 2. Соответствие по схеме между кано­ническими кривыми и дугами канонических кривых (4 86). 3. Сопряженные to- и а-дуги двух систем Ь и D' с тождественными схемами (488). 4. Основная теорема (490). 5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамиче­ской системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуан­каре (497).

Глава XII. Качественное исследование «в целом» конкретных динамических

систем..................... ......... 499

§ 30. Примеры.......................... 499

Дополнение............................... 519

§ 1. Элементарные сведения о множествах в евклидовом пространстве 519

1. Некоторые обозначения (519). 2. Сегмент и интервал (519). 3. Точка сгущения, граничная и внутренняя точка множества (519). 4. Множества открытые и замкнутые. Граница (520). 5. Расстояние между множествами. Компактные множества (520). 6. Связные множества. Континуум и область (520). 7. Области с общей границей (520). 8. Множества всюду плотЕнле и ни­где не плотные (521). 9. Окрестности, покрытия (521). 10. Топологиче­ский предел (521). 11. Отображение множеств друг на друга (521). 12. Тодологическое отображение (522). 13. Теорема Брауэра об инвариантности области (522). 14. Системы функций, описывающие отображение множеств (522). 15. Простая дуга (522). 16. Простая замкнутая кривая (523).

§ 2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости. Ориен­тация плоскости (направление обхода простых замкнутых кривых). Типы топологических отображений .............. 523

1. Две основные теоремы (523). 2. Леммы о простой замкнутой кривой (523). 3. Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический порядок точек на простой замкнутой кривой (525). 4. Индуцированное направление на простой дуге, являющейся частью простой замкнутой кривой (625). 5. Ориентация плоскости (525). 6. Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу или общую точку (527). 7. Два предложения о связи между порядком точек на непересекаю­щихся простых замкнутых кривых (528). 8. Два типа топологических ото­бражений плоскости в себя (сохраняющие ориентацию и изменяющие ориентацию) (528).

§ 3. Положительная и отрицательная «сторона» простой дуги .... 529

1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги (529).

2. Определение областей, характеризующих различные стороны простой дуги, С помощью введения криволинейной системы координат (531). 3. Некоторые предложения о взаимном расположении дуг и простых замкнутых кривых (532). 4. Ограниченные области на плоскости (532).

§ 4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях........ 533

1. Классы функций (533). 2. Лемма Адамара (533). 3. Теорема о неявных функциях (534).

§ 5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая

замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами..... 536

1. Угол между векторами (536). 2. Гладкая простая дуга (536). 3. Гладкан простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая (536). 4. Гладкая линия (537). 5. Гладкие простые дуги, имеющие общую точку (537).

§ 6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые

предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых . . . 538

1. Регулярное отображение (538). 2. Криволинейные координаты (539).

3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Контра-вариантный вектор. Преобразование касательного вектора (540). 4. Изме­нение угла между векторами при регулярном отображении. Роль якобиана преобразования (541). 5. Использование регулярного отображения при рассмотрении областей, характеризующих различные стороны простой гладкой дуги (541). 6. Один способ введения функций х = q> (s, t), у — = ч>(8, О (542). 7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой (544). 8. Два пред­ложения о построении функций по заданным условиям (545).

§ 7. Сфера в евклидовом пространстве .............. 547

1. Окрестность точки сферы (547). 2. Простая дуга и простая замкнутая кри­вая на сфере (548). 3. Покрытие сферы и координаты на сфере (548). 4. Одно частное' простейшее координатное покрытие сферы (550). 5. Ориентация сферы и типы топологических отображений сферы в себя (651). 6.Функции, заданные на сфере (551).

§ 8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений .... 552

1. Теорема о существовании и единственности решения (652). 2. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (553). 3. Производные по независимому переменному и по начальным значениям (553). t

§ 9. К вопросу о понятии «качественной структуры» разбиения па траек­тории и о понятии особых и неособых траекторий....... 554

1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений (554). 2. Различные подходы к выделению областей, заполненных траекто­риями «одинакового поведения» (555). 3. Случай бесконечного числа орбит-но-неустойчивых траекторий (557). 4. Геометрический пример А. Г. Майера всюду плотного множества орбитно-неустоичивых траекторий — сепаратрис состояния равновесия (557).

s 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия 559

Литература........................... 563

Алфавитный указатель..................... 566