Ижевск: ИРТ, 1999. -400с. 

Изложен ряд основных идей и методов для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Включены классические и современные результаты теории динамических систем: структурная устойчивость, У-системы, аналитические методы локальной теории в окрестности особой точки или периодического решения, теорема Дюлака, удвоение периода Фейгенбаума и др.

Содержание:

Предисловие ............................. 5

Некоторые используемые обозначения............ 9

Глава 1. Специальные уравнения................ 11

§ 1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относи­тельно групп симметрии................... 11

§ 2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений 19

§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производных . 25 § 4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относи­тельно производной, в окрестности регулярной особой

точки.............................. 37

§ 5. Стационарное уравнение Шредингера........... 44

§ 6. Геометрия дифференциального уравнения второго поряд­ка и геометрия пары полей направлений в трехмерном

пространстве.......................... 57

Глава 2. Уравнения с частными производными первого по­рядка ................................ 75

§ 7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными про­изводными первого порядка................. 75

§ 8. Нелинейное уравнение с частными производными перво­го порядка........................... 85

§ 9. Теорема Фробениуса..................... 104

Глава 3. Структурная устойчивость.............. 108

§ 10. Понятие структурной устойчивости............ 109

§ 11. Дифференциальные уравнения на торе........... 117

§ 12. Аналитическое приведение к повороту аналитических

диффеоморфизмов окружности............... 136

§ 13. Введение в гиперболическую теорию............ 144

§ 14. У-системы........................... 151

§ 15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны . . . 166

Глава 4. Теория возмущений.................. 169

§ 16. Метод усреднения....................... 170

§ 17. Усреднение в одночастотных системах........... 174

§ 18. Усреднение в многочастотных системах.......... 179

§ 19. Усреднение в гамильтоновых системах........... 192

§ 20. Адиабатические инварианты................. 196

§ 21. Усреднение в слоении Зейферта............... 202

Глава 5. Нормальные формы .................. 209

§ 22. Формальное приведение к линейной нормальной форме . 209

§ 23. Резонансный случай ..................... 213

§ 24. Области Пуанкаре и Зигеля................. 217

§ 25. Нормальная форма отображения в окрестности непо­движной точки......................... 223

§ 26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффи­циентами ............................ 226

§ 27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой . 235

§ 28. Доказательство теоремы Зигеля............... 250

Глава 6. Локальная теория бифуркаций ........... 258

§ 29. Семейства и деформации................... 258

§ 30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности дек­ремент-диаграмм ....................... 276

§31. Бифуркации особых точек векторного поля........ 301

§ 32. Версальные деформации фазовых портретов ....... 307

§ 33. Потеря устойчивости положения равновесия....... 312

§ 34. Потеря устойчивости автоколебаний............ 330

§ 35. Версальные деформации эквивариантных векторных по­лей на плоскости ....................... 349

§ 36. Перестройки топологии при резонансах.......... 372

§ 37. Классификация особых точек................ 388

Образцы экзаменационных задач................ 394

Предисловие

Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекре­тить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем:

«Data aequatione quotcunque Arterites quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения».

В настоящее время теория дифференциальных уравнений пред­ставляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для все­возможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

Большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с естественнонаучными приложениями, проходит через диф­ференциальные уравнения. Многие разделы теории дифференциальных уравнений настолько разрослись, что стали самостоятельными наука­ми; проблемы теории дифференциальных уравнений имели большое значение для возникновения таких наук, как линейная алгебра, теория групп Ли, функциональный анализ, квантовая механика и т. д. Таким образом, дифференциальные уравнения лежат в основе естественно­научного математического мировоззрения.

При отборе материала для настоящей книги автор старался изло­жить основные идеи и методы, применяемые для изучения дифферен­циальных уравнений. Особые усилия были приложены к тому, чтобы основные идеи, как правило простые и наглядные, не загромождались техническими деталями. С наибольшей подробностью рассматривают­ся наиболее фундаментальные и простые вопросы, в то время как из­ложение более специальных и трудных частей теории носит характер обзора.

Книга начинается с исследования некоторых специальных диффе­ренциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. При этом ос­новное внимание уделяется не формально-рецептурной стороне элемен­тарной теории интегрирования, а ее связям с общематематическими идеями, методами и понятиями (разрешение особенностей, группы Ли, диаграммы Ньютона), с одной стороны, и естественнонаучным прило­жениям — с другой.

Теория уравнении с частными производными первого порядка рас­сматривается при помощи естественной контактной структуры в мно­гообразии 1-струй функций. Попутно излагаются необходимые элемен­ты геометрии контактных структур, делающие всю теорию независи­мой от других источников.

Значительную часть книги занимают методы, обычно называе­мые качественными. Современное развитие основанной А. Пуанкаре качественной теории дифференциальных уравнений привело к пони­манию того, что, подобно тому, как явное интегрирование диффе­ренциальных уравнений, вообще говоря, невозможно, невозможным оказывается и качественное исследование сколько-нибудь общих диф­ференциальных уравнений с многомерным фазовым пространством. В книге обсуждается анализ дифференциальных уравнений с точки зрения структурной устойчивости, то есть устойчивости качествен­ной картины по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений. Изложены основные результаты, полученные после первых работ А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина в этой области: начала тео­рии структурно устойчивых У-систем Аносова, все траектории кото­рых экспоненциально неустойчивы, и теорема Смейла о неплотности множества структурно устойчивых систем. Обсуждается также вопрос о значении этих математических открытий для приложений (речь идет об описании устойчивых хаотических режимов движения, вроде тур­булентных).

К наиболее мощным и часто применяемым методам исследова­ния дифференциальных уравнений относятся различные асимптоти­ческие методы. В книге изложены основные идеи метода усреднения, восходящего к работам основоположников небесной механики и ши­роко используемого во всех областях приложений, где нужно отде­лить медленную эволюцию от быстрых осцилляций (Н.Н.Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др.).

Несмотря на обилие исследований по усреднению, в вопросе об эво­люции даже для простейших многочастотных систем далеко не все яс­но. В книге дается обзор работ о прохождении резонансов и о захвате в резонанс, направленных к выяснению этого вопроса.

Основой метода усреднения является идея уничтожения возмуще­ний посредством подходящего выбора системы координат. Эта же идея лежит в основе теории нормальных форм Пуанкаре. Метод нормаль­ных форм является основным методом локальной теории дифференци­альных уравнений, описывающей поведение фазовых кривых в окрест­ности особой точки или замкнутой фазовой кривой. В книге изложены основы метода нормальных форм Пуанкаре, включая доказательство фундаментальной теоремы Зигеля о линеаризации голоморфного ото­бражения.

Важные применения метод нормальных форм Пуанкаре находит не только при исследовании отдельного дифференциального уравнения, но и в теории бифуркаций, когда предметом изучения является семейство уравнений, зависящих от параметров.

Теория бифуркаций изучает изменения качественной картины при изменении параметров, от которых зависит система. При общих значе­ниях параметров обычно приходится иметь дело с системами общего положения (все особые точки простые и т.д.). Однако, если система зависит от параметров, то при некоторых значениях параметров неиз­бежно встречаются вырождения (например, слияние двух особых точек векторного поля).

В однопараметрическом семействе общего положения встречаются лишь простейшие вырождения (те, от которых нельзя избавиться ма­лым шевелением семейства). Таким образом возникает иерархия вы­рождений по коразмерностям соответствующих поверхностей в функ­циональном пространстве всех изучаемых систем: в однопараметри-ческих семействах общего положения встречаются лишь вырождения, соответствующие поверхностям коразмерности один, и т. д.

В последние годы в теории бифуркаций наблюдается значитель­ный прогресс, связанный с применением идей и методов обшей теории особенностей дифференцируемых отображений X. Уитни.

Книга заканчивается главой о теории бифуркаций, в которой при­меняются развитые в предыдущих главах методы и описаны резуль­таты, полученные в этой области, начиная с основополагающих работ А. Пуанкаре и А. А. Андронова.

При изложении всех вопросов автор стремился избежать аксиома­тически-дедуктивного стиля, характерным признаком которого явля­ются немотивированные определения, скрывающие фундаментальные идеи и методы; подобно притчам, их разъясняют лишь ученикам на­едине.

Продолжающаяся, как утверждают, уже более 50 лет аксиоматиза­ция и алгебраизация математики привела к неудобочитаемости столь большого числа математических текстов, что стала реальностью всег­да угрожающая математике угроза полной утраты контакта с физикой и естественными науками. Автор старался вести изложение таким об­разом, чтобы книгой могли пользоваться не только математики, но все потребители теории дифференциальных уравнений.

У читателя настоящей книги предполагаются лишь очень неболь­шие общематематические представления в объеме примерно первых двух курсов университетской программы; достаточно (но не необходи­мо), например, знакомство с учебником В.И.Арнольда «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М., 1974.1

Изложение построено таким образом, чтобы читатель мог пропус­кать места, оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для понимания дальнейшего: были приняты меры к тому, чтобы по возмож­ности избегать ссылок из главы в главу и даже из параграфа в параграф.

Содержание настоящей книги составил материал ряда обязатель­ных и специальных курсов, читавшихся автором на механико-матема­тическом факультете МГУ в 1970-1976 годах для студентов-математи­ков П-Ш курсов, для слушателей факультета повышения квалифика­ции и на экспериментальном потоке математиков естественнонаучного профиля.

Автор выражает благодарность студентам О.Е.Хадину, А. К. Ко-вальджи, Е. М. Кагановой и доц. Ю. С. Ильяшенко, чьи конспекты были очень полезными при подготовке этой книги. Составленный Ю. С. Ильяшенко конспект специального курса, а также конспекты лек­ций на экспериментальном потоке в течение ряда лет находились в библиотеке факультета. Автор благодарен многочисленным читате­лям и слушателям этих курсов за ряд ценных замечаний, использован­ных при подготовке книги. Автор благодарен рецензентам Д. В. Аносову и В. А. Плиссу за тщательное рецензирование рукописи, способствовав­шее ее улучшению.

Июнь 1977 г. В. Арнольд