|
Арнольд В.И. Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравненияАрнольд В.И. Ильяшенко Ю.С. СОДЕРЖАНИЕ: Предисловие................ 11 Глава 1. Основные понятия............ 13 § 1. Определения.............. 13 1.1. Поля- направлений и их интегральные кривые..... 13 1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, интегральные и фазовые кривые..... ... 13 1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные уравнения ................ 14 1.4. Диффеоморфизмы и фазовые штоки....... 14 1.5. Особые точки.............. 15 1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле..... 16 1.7. Первые интегралы............ 16 1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем . . 17 1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области . . 17 1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков .... 18 1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии .... 18 § 2. Основные теоремы............. 18 2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля...... 18 2.2. Теорема существования и единственности...... 19 2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений...... 20 2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений . . 20 2.5. Теорема о продолжении........... 21 2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от начальных условий и параметров........ 22 2.7. Уравнение в вариациях........... 22 2.8. Теорема о непрерывной зависимости....... 23 2.9. Теорема о локальном фазовом потоке...... 23 2.10. Теорема о первых интегралах.......... 23 § 3. Линейные дифференциальные уравнения....... 23 3.1. Экспонента линейного оператора........ 23 3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей и экспонент линейных операторов ........ 24 3.3. Комплексификаиия фазового пространства...... 24 3.4. Седло, узел, фокус, центр.......... 25 3.5. Формула Лиувилля — Остроградского....... 25 3.6. Линейные уравнения высших порядков....... 27 ■§ 4. Устойчивость.............. 27 4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая..... 27 4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению 29 4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева....... 29 4.4. Особые точки общего положения........ 29 § 5. Циклы................ 30 5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных уравнений.............„ - - 3' 5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Предельные циклы............. 31 5.3. Кратность циклов............ 3i 5.4. Мультипликаторы............. 3i 5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Беидиксона 34 § 6. Системы с снмметриями........... 35 6.1. Группа симметрий дифференциального уравнения .... 35 6.2. Факторсистемы............. 35 6.3. Однородные уравнения........... 36 6.4. Использование симметрий для понижения порядка ... 36 § 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.............. 38 7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые . . 38 7.2. Регулярные особые точки...... ... 38 7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы ........ 39 7.4. Нормальные формы сложенных особых точек..... 39 7.5. Сборки ... ........... 40 § 8. Аттракторы............... 41 8.1. Определения........ ..... 42 8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов . . 42 8.3. Приложения............... 43 Глава. 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях .... 44 § 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере . . 44 1.1. Определения 1............. 44 1.2. Одномерный случай............ 44" 1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере ... 45 § 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе .... 45 2.1. Двумерный тор и векторные поля на нем...... 45 2.2. Преобразование монодромии.......... 46 2.3. Число вращения............. 47 § 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе 47 3.1. Описание структурно устойчивых уравнений..... 47 3.2. Оценка числа циклов........... 48 § 4. Уравнения на торе с иррациональным числом вращения . . 48 4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту . . 48 4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3 . . 50 § 5. Замечания о числе вращения.......... 50 5.1. Число вращения как функция параметров...... 50 5.2. Семейства уравнений на торе......... 51 5.3. Эндоморфизмы окружности.......... 51 Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном вещественном фазовом пространстве....... 51 § 1. Топологическая классификация гиперболических особых точек 52 1.1. Теорема Гробмана — Хартмана......... 52 1.2. Классификация линейных систем........ 52 § 2. Устойчивость по Ляпунову н проблема топологической классификации ............... 53 2.1. О локальных задачах анализа......... 53 2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости по Ляпунову.......... 54 2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной коразмерности ............... 55 2.4. Топологически нестабилизируемые струи...... 56 § 3. Формальная классификация ростков векторных полей ... 57 3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность ... 57 3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их обобщения ............... 58 3.3. Приложения теории формальных нормальных форм ... 59 3.4. Полиномиальные нормальные формы....... 60 § 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения .... 61 4.1. Теорема Адамара — Перрона......... 61 4.2. Теорема о центральном многообразии....... 62 4.3. Принцип сведения............ 63 § 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых точек в случае вырождений малой коразмерности .... 63 5.1. Структура критериев............ 63 5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных полей до вырождений коразмерности 2 включительно ... 64 5.3. Фазовые портреты нормальных форм....... 67 5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до коразмерности 3 включительно......... 68 5.5. Диаграмма примыканий........... 71 5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости...... 72 § 6. Гладкая классификация ростков векторных полей .... 72 6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации ... 72 6.2. Ростки векторных полей с симметриями...... 72 6.3. Квазигиперболичность........... 73 6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей 74 § 7. Нормальные формы векторных полей, линейная часть которых — нильпотентная жорданова клетка......... 74 7.1. Центрированные цепочки.......... 74 7.2. Неубиваемые невязки........... 75 7.3. Стандартное представление группы SL(2) и алгебры si (2) 75 7.4. Продолжение ннлыютентного оператора до представления алгебры Ли si (2)............ 76 7.5. Окончание доказательства теоремы........ 76 Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном комплексном фазовом пространстве ....... 77 § 1. Линейные нормальные формы.......... 77 1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели .... 77 1.2. Сходимость нормализующих рядов........ 78 1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79 1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79 §2. Связь формальной и аналитической классификации .... 80 2.1. Условие А.............. 80 2.2. Замечание............... 80 § 3. Аналитические инвариантные многообразия...... 81 3.1. Теорема об инвариантном многообразии...... 81 3.2. Следствия.............. 82 3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциальных уравнений на плоскости......... 83 § 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной области ................ 84 4.1. Линейные векторные поля.......... 84 4.2. Нелинейный случай............ 85 Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной 'и комплексной плоскости............. 85 § 1. Разрешение особенностей........... 85 1.1. Раздутие илн о-процесс на плоскости....... 85 1.2. Элементарные особые точки.......... 87 1.3. Хорошие раздутия............ 87 § 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек на плоскости.............. 88 2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай ... 88 2.2. Нормальные формы в гладком случае....... 88 § 3. Топологическая классификация сложных особых точек с характеристической траекторией.......... 89 3.1. Основная альтернатива.......... °9 3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности особой точки ...... 90 3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона векторных полей............. 91 3.4. Исследование векторных полей по главной части ... 92 § 4. Проблема различения центра и фокуса....... 93 4.1. Постановка проблемы........... 93 4.2. Алгебраическая неразрешимость........ 93 4.3. Центр по линейным членам.......... 94 4.4. Нильпотентная жорданова клетка . . . . ... 94 4.5. Особые точки без исключительных направлений .... 95 4.6. Общий случай............. 96 4.7. Обобщенная первая фокусная величина...... 96 4.8. Полиномиальные векторные поля........ 96 § 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в комплексной области............. 97 5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной частью............... 97 5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей с нелинейностями общего положения........ 98 5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные особые точки............... 99 5.4. Геометрия аналитических нормальных форм..... 100 5.5. Приложения.............. 100 5.6. Добавление об аналитических нормальных формах . . . 101 § 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных особых точек на комплексной плоскости . ..... 101 6.1. Нерезонансный случай........... 101 6.2. Седловые резонансные векторные поля...... 101 6.3. Вырожденные элементарные особые точки...... 101 Глава 6. Циклы...... ........ 102 § 1. Преобразование монодромии..... .... 102 1.1. Определения . . ........... ]02 1.2. Реализация.............. 103 § 2. Локальная теория диффеоморфизмов....... 104 2.1. Линейные нормальные формы......... 104 2.2. Резонансный случай............ 105 2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов . . 106 2.4. Инвариантные многообразия цикла........ 106 2.5. Раздутия............... 107 § 3. Уравнения с периодической правой частью...... 108 3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами............. Ю8 3.2. Линейные нормальные формы......... 109 3.3. Резонансные нормальные формы........ 109 § 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плоскости ................ 1Ю 4.1. Проблема конечности и сложные циклы...... Ц0 4.2. Преобразование монодромии сложного цикла..... 111 4.3. Открытые вопросы............ 112 4.4. Одна теорема конечности.......... 112 4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения . . Ц2 4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени . . . . ЦЗ § 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым . . .113 5.1. Рождение вещественных предельных циклов..... из 5.2. Рождение комплексных циклов . .......114 5.3 Исследование вариации...........114 5.4. Ослабленная проблема Гильберта........115 5.5. Специальные случаи............116 $ 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной плоскости ..... .......... 117 6.1. Допустимые поля............ 117 6.2. Полиномиальные поля........... 117 Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений . . 119 § 1. Уравнения без подвижных критических точек..... 119 1.1. Определение.............. 119 1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка 120 1.3. Уравнения Риккати.......... 120 1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . 121 1.5. Уравнения Пенлеве............ 121 § 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем 122 2.1. Регулярные н иррегулярные особые точки..... 122 2.2. Формальная, голоморфная н мероморфная эквивалентность 124 2.3. Монодромии......... . . 124 2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой 125 2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой точкой................ 126 2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса...... 127 2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрестности иррегулярной особой точки ........ 128 •§ 3. Теория линейных уравнений в целом....... 129 3.1. Уравнения н системы класса Фукса....... 129 3.2. Продолжимость и монодромня......... 130 3.3. Теорема Римана — Фукса.......... 131 3.4. Аналитические функции от матриц........ 132 3.5. Связь с теорией клейновых групп........ 132 3.6. Интегрируемость в квадратурах........ 133 3.7. Замечания о специальных уравнениях....... 133 3.8. Группа монодромии уравнения Гаусса....... 134 § 4. Проблема Римана — Гильберта......... 134 4.1. Постановка проблемы........... 135 4.2. Проблема Римана — Гильберта для круга...... 135 4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы..... 137 4.4. Проблема Римана — Гильберта для фуксовых систем . . . 138 4.5. Обобщения.............. 138 4.6. Векторные расслоения на сфере........ 139 4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта..... 139 4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве . . . 140 Литература................ 141 Предметный указатель............. 147 ПРЕДИСЛОВИЕ Этот обзор посвящен, в основном, локальной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В него не включена теория бифуркаций; ей будет посвящена отдельная статья. Метод усреднения излагается в обзоре В. И. Арнольда, В. В. Козлова, А. И. Нейштадта «Математические аспекты классической и небесной механики1» (т. 3 настоящего издания). Мы не касаемся спектральной теории дифференциальных операторов с одной независимой переменной (см., например, [37]); по целям и методам она относится скорее к функциональному анализу. Не включены в обзор также теория интегральных преобразований и ее приложения к дифференциальным уравнениям. Асимптотической теории дифференциальных уравнений посвящен обзор М. В. Федорюка «Асимптотические методы в анализе»; некоторые общие теоремы асимптотической теории имеются в главе 7. Совсем не затронут вопрос об интегрировании конкретных уравнений; основным пособием на эту тему является книга Камке (Е. Катке) «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям». В последние годы произошел резкий подъем активности в исследовании классических проблем теории дифференциальных, уравнений, связанный с проникновением в эту теорию смежных дисциплин: алгебры (теория формальных нормальных форм), алгебраической геометрии (разрешение особенностей), комплексного анализа. Мы старались, по возможности, отразить эти исследования в предлагаемой статье. Изложение ведется с единой точки зрения и с использованием единой терминологии. Мы начинаем каждую главу с определения основных понятий с тем, чтобы сделать наш обзор доступным и для читателя-неспециалиста. В существующей литературе отсутствует единая терминология — даже термин «осо-. бая точка» употребляется в различных значениях. Различие в терминологии и, что еще важнее, в математическом языке приводит к тому, что в разных источниках близкие результаты формулируются совсем по-разному. Для того, чтобы они воспринимались как части одного целого, мы зачастую формулируем их не в том виде, как в первоисточниках. Исследование каждой проблемы мы старались начинать с рассмотрения объектов общего положения; они наиболее просты и одновременно имеют больше всего приложений, поскольку чаще всего встречаются. Вырождений высокой коразмерности мы касаемся только в двух случаях: 1) если все вырождения меньшей коразмерности в изучаемой проблеме уже описаны; 2) если проблема исследуется единообразно для вырождений всех коразмерностей. Список литературы не претендует на полноту. В него включены некоторые учебники, а также монографии общего характера. Большая часть списка состоит из работ, содержащих подробное изложение результатов, сформулированных в обзоре. Для сокращения списка литературы мы пользовались двойными ссылками: если работа цитирована в монографии или статье,, включенной в список литературы, то ссылка на нее имеет вид [а : Ь] или [а, стр. Ь]. Первое означает работу [Ь] . из списка литературы в [а]; второе — работу, цитированную в [а] на стр. Ь. Знак А указывает конец некоторых формулировок. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко |
Loading
|