СОДЕРЖАНИЕ:

Предисловие................ 11

Глава 1. Основные понятия............ 13

§ 1. Определения.............. 13

1.1. Поля- направлений и их интегральные кривые..... 13

1.2. Векторные поля, автономные дифференциальные уравнения, ин­тегральные и фазовые кривые..... ... 13

1.3. Поля направлений и неавтономные дифференциальные урав­нения ................ 14

1.4. Диффеоморфизмы и фазовые штоки....... 14

1.5. Особые точки.............. 15

1.6. Действие диффеоморфизма на векторное поле..... 16

1.7. Первые интегралы............ 16

1.8. Дифференциальные уравнения с комплексным временем . . 17

1.9. Голоморфные поля направлений в комплексной области . . 17

1.10. Дифференциальные уравнения высших порядков .... 18

1.11. Дифференциальные уравнения на многообразии .... 18 § 2. Основные теоремы............. 18

2.1. Теорема о выпрямлении векторного поля...... 18

2.2. Теорема существования и единственности...... 19

2.3. Теорема о выпрямлении поля направлений...... 20

2.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений . . 20

2.5. Теорема о продолжении........... 21

2.6. Теорема о дифференцируемой и аналитической зависимости от начальных условий и параметров........ 22

2.7. Уравнение в вариациях........... 22

2.8. Теорема о непрерывной зависимости....... 23

2.9. Теорема о локальном фазовом потоке...... 23

2.10. Теорема о первых интегралах.......... 23

§ 3. Линейные дифференциальные уравнения....... 23

3.1. Экспонента линейного оператора........ 23

3.2. Теорема о связи фазовых потоков линейных векторных полей

и экспонент линейных операторов ........ 24

3.3. Комплексификаиия фазового пространства...... 24

3.4. Седло, узел, фокус, центр.......... 25

3.5. Формула Лиувилля — Остроградского....... 25

3.6. Линейные уравнения высших порядков....... 27

■§ 4. Устойчивость.............. 27

4.1. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая..... 27

4.2. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению 29

4.3. Функция Ляпунова и функция Четаева....... 29

4.4. Особые точки общего положения........ 29

§ 5. Циклы................ 30

5.1. Строение фазовых кривых вещественных дифференциальных

уравнений.............„ - - 3'

5.2. Преобразование монодромии замкнутой фазовой кривой. Пре­дельные циклы............. 31

5.3. Кратность циклов............ 3i

5.4. Мультипликаторы............. 3i

5.5. Предельные множества и теорема Пуанкаре — Беидиксона 34 § 6. Системы с снмметриями........... 35

6.1. Группа симметрий дифференциального уравнения .... 35

6.2. Факторсистемы............. 35

6.3. Однородные уравнения........... 36

6.4. Использование симметрий для понижения порядка ... 36 § 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно

производной.............. 38

7.1. Основные понятия: криминанта, интегральные кривые . . 38

7.2. Регулярные особые точки...... ... 38

7.3. Сложенные седла, узлы и фокусы ........ 39

7.4. Нормальные формы сложенных особых точек..... 39

7.5. Сборки ... ........... 40

§ 8. Аттракторы............... 41

8.1. Определения........ ..... 42

8.2. Оценка сверху размерности максимальных аттракторов . . 42

8.3. Приложения............... 43

Глава. 2. Дифференциальные уравнения на поверхностях .... 44

§ 1. Структурно устойчивые уравнения на окружности и сфере . . 44

1.1. Определения 1............. 44

1.2. Одномерный случай............ 44"

1.3. Структурно устойчивые системы на двумерной сфере ... 45 § 2. Дифференциальные уравнения на двумерном торе .... 45

2.1. Двумерный тор и векторные поля на нем...... 45

2.2. Преобразование монодромии.......... 46

2.3. Число вращения............. 47

§ 3. Структурно устойчивые дифференциальные уравнения на торе 47

3.1. Описание структурно устойчивых уравнений..... 47

3.2. Оценка числа циклов........... 48

§ 4. Уравнения на торе с иррациональным числом вращения . . 48

4.1. Эквивалентность диффеоморфизма окружности повороту . . 48

4.2. Диффеоморфизмы окружности и векторные поля на S3 . . 50 § 5. Замечания о числе вращения.......... 50

5.1. Число вращения как функция параметров...... 50

5.2. Семейства уравнений на торе......... 51

5.3. Эндоморфизмы окружности.......... 51

Глава 3. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном

вещественном фазовом пространстве....... 51

§ 1. Топологическая классификация гиперболических особых точек 52

1.1. Теорема Гробмана — Хартмана......... 52

1.2. Классификация линейных систем........ 52

§ 2. Устойчивость по Ляпунову н проблема топологической класси­фикации ............... 53

2.1. О локальных задачах анализа......... 53

2.2 Алгебраическая и аналитическая неразрешимость проблемы

устойчивости по Ляпунову.......... 54

2.3. Алгебраическая разрешимость до вырождений конечной кораз­мерности ............... 55

2.4. Топологически нестабилизируемые струи...... 56

§ 3. Формальная классификация ростков векторных полей ... 57

3.1. Формальные векторные поля и их эквивалентность ... 57

3.2. Резонансы. Нормальные формы Пуанкаре — Дюлака и их об­общения ............... 58

3.3. Приложения теории формальных нормальных форм ... 59

3.4. Полиномиальные нормальные формы....... 60

§ 4. Инвариантные многообразия и теорема сведения .... 61

4.1. Теорема Адамара — Перрона......... 61

4.2. Теорема о центральном многообразии....... 62

4.3. Принцип сведения............ 63

§ 5. Критерии устойчивости и топологическая классификация особых

точек в случае вырождений малой коразмерности .... 63

5.1. Структура критериев............ 63

5.2. Топологическая классификация ростков гладких векторных по­лей до вырождений коразмерности 2 включительно ... 64

5.3. Фазовые портреты нормальных форм....... 67

5.4. Критерии устойчивости по Ляпунову для вырождений до ко­размерности 3 включительно......... 68

5.5. Диаграмма примыканий........... 71

5.6. Теоремы об алгебраической разрешимости...... 72

§ 6. Гладкая классификация ростков векторных полей .... 72

6.1. Соотношение формальной и гладкой классификации ... 72

6.2. Ростки векторных полей с симметриями...... 72

6.3. Квазигиперболичность........... 73

6.4. Конечно гладкая эквивалентность ростков векторных полей 74 § 7. Нормальные формы векторных полей, линейная часть которых —

нильпотентная жорданова клетка......... 74

7.1. Центрированные цепочки.......... 74

7.2. Неубиваемые невязки........... 75

7.3. Стандартное представление группы SL(2) и алгебры si (2) 75

7.4. Продолжение ннлыютентного оператора до представления алгебры Ли si (2)............ 76

7.5. Окончание доказательства теоремы........ 76

Глава 4. Особые точки дифференциальных уравнений в многомерном

комплексном фазовом пространстве ....... 77

§ 1. Линейные нормальные формы.......... 77

1.1. Области Пуанкаре и Зигеля. Малые знаменатели .... 77

1.2. Сходимость нормализующих рядов........ 78

1.3. Аналитические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79

1.4. Геометрические теоремы о расходимости нормализующих рядов 79 §2. Связь формальной и аналитической классификации .... 80

2.1. Условие А.............. 80

2.2. Замечание............... 80

§ 3. Аналитические инвариантные многообразия...... 81

3.1. Теорема об инвариантном многообразии...... 81

3.2. Следствия.............. 82

3.3. Об аналитическом центральном многообразии дифференциаль­ных уравнений на плоскости......... 83

§ 4. Топологическая классификация особых точек в комплексной об­ласти ................ 84

4.1. Линейные векторные поля.......... 84

4.2. Нелинейный случай............ 85

Глава 5. Особые точки векторных полей на вещественной 'и комплекс­ной плоскости............. 85

§ 1. Разрешение особенностей........... 85

1.1. Раздутие илн о-процесс на плоскости....... 85

1.2. Элементарные особые точки.......... 87

1.3. Хорошие раздутия............ 87

§ 2. Гладкая орбитальная классификация элементарных особых точек

на плоскости.............. 88

2.1. Таблица нормальных форм: аналитический случай ... 88

2.2. Нормальные формы в гладком случае....... 88

§ 3. Топологическая классификация сложных особых точек с харак­теристической траекторией.......... 89

3.1. Основная альтернатива.......... °9

3.2. Топологическая классификация дифференциальных уравнений

на плоскости в окрестности особой точки ...... 90

3.3. Топологическая конечная определенность. Диаграммы Ньютона векторных полей............. 91

3.4. Исследование векторных полей по главной части ... 92 § 4. Проблема различения центра и фокуса....... 93

4.1. Постановка проблемы........... 93

4.2. Алгебраическая неразрешимость........ 93

4.3. Центр по линейным членам.......... 94

4.4. Нильпотентная жорданова клетка . . . . ... 94

4.5. Особые точки без исключительных направлений .... 95

4.6. Общий случай............. 96

4.7. Обобщенная первая фокусная величина...... 96

4.8. Полиномиальные векторные поля........ 96

§ 5. Аналитическая классификация элементарных особых точек в ком­плексной области............. 97

5.1. Ростки конформных отображений с тождественной линейной частью............... 97

5.2. Классификация резонансных отображений и векторных полей

с нелинейностями общего положения........ 98

5.3. Продолжение предыдущего: вырожденные элементарные осо­бые точки............... 99

5.4. Геометрия аналитических нормальных форм..... 100

5.5. Приложения.............. 100

5.6. Добавление об аналитических нормальных формах . . . 101 § 6. Орбитальная топологическая классификация элементарных осо­бых точек на комплексной плоскости . ..... 101

6.1. Нерезонансный случай........... 101

6.2. Седловые резонансные векторные поля...... 101

6.3. Вырожденные элементарные особые точки...... 101

Глава 6. Циклы...... ........ 102

§ 1. Преобразование монодромии..... .... 102

1.1. Определения . . ........... ]02

1.2. Реализация.............. 103

§ 2. Локальная теория диффеоморфизмов....... 104

2.1. Линейные нормальные формы......... 104

2.2. Резонансный случай............ 105

2.3. Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов . . 106

2.4. Инвариантные многообразия цикла........ 106

2.5. Раздутия............... 107

§ 3. Уравнения с периодической правой частью...... 108

3.1. Нормальная форма линейного уравнения с периодическими коэффициентами............. Ю8

3.2. Линейные нормальные формы......... 109

3.3. Резонансные нормальные формы........ 109

§ 4. Предельные циклы полиномиальных векторных полей на плос­кости ................ 1Ю

4.1. Проблема конечности и сложные циклы...... Ц0

4.2. Преобразование монодромии сложного цикла..... 111

4.3. Открытые вопросы............ 112

4.4. Одна теорема конечности.......... 112

4.5. Метод доказательства теоремы Дюлака и ее обобщения . . Ц2

4.6. Полиномиальные векторные поля второй степени . . . . ЦЗ § 5. Предельные циклы систем, близких к гамильтоновым . . .113

5.1. Рождение вещественных предельных циклов..... из

5.2. Рождение комплексных циклов . .......114

5.3 Исследование вариации...........114

5.4. Ослабленная проблема Гильберта........115

5.5. Специальные случаи............116

$ 6. Полиномиальные дифференциальные уравнения на комплексной

плоскости ..... .......... 117

6.1. Допустимые поля............ 117

6.2. Полиномиальные поля........... 117

Глава 7. Аналитическая теория дифференциальных уравнений . . 119

§ 1. Уравнения без подвижных критических точек..... 119

1.1. Определение.............. 119

1.2. Подвижные критические точки уравнения первого порядка 120

1.3. Уравнения Риккати.......... 120

1.4. Уравнения, не разрешенные относительно производной . . 121

1.5. Уравнения Пенлеве............ 121

§ 2. Локальная теория линейных уравнений с комплексным временем 122

2.1. Регулярные н иррегулярные особые точки..... 122

2.2. Формальная, голоморфная н мероморфная эквивалентность 124

2.3. Монодромии......... . . 124

2.4. Формальная теория линейных систем с фуксовой особой точкой 125

2.5. Формальная теория линейных систем с нефуксовой особой точкой................ 126

2.6. Асимптотические ряды и явление Стокса...... 127

2.7. Аналитическая классификация нерезонансных систем в окрест­ности иррегулярной особой точки ........ 128

•§ 3. Теория линейных уравнений в целом....... 129

3.1. Уравнения н системы класса Фукса....... 129

3.2. Продолжимость и монодромня......... 130

3.3. Теорема Римана — Фукса.......... 131

3.4. Аналитические функции от матриц........ 132

3.5. Связь с теорией клейновых групп........ 132

3.6. Интегрируемость в квадратурах........ 133

3.7. Замечания о специальных уравнениях....... 133

3.8. Группа монодромии уравнения Гаусса....... 134

§ 4. Проблема Римана — Гильберта......... 134

4.1. Постановка проблемы........... 135

4.2. Проблема Римана — Гильберта для круга...... 135

4.3. Проблема Римана — Гильберта для сферы..... 137

4.4. Проблема Римана — Гильберта для фуксовых систем . . . 138

4.5. Обобщения.............. 138

4.6. Векторные расслоения на сфере........ 139

4.7. Применения к проблеме Римана — Гильберта..... 139

4.8. Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве . . . 140

Литература................ 141

Предметный указатель............. 147

ПРЕДИСЛОВИЕ

Этот обзор посвящен, в основном, локальной теории обык­новенных дифференциальных уравнений. В него не включена теория бифуркаций; ей будет посвящена отдельная статья. Ме­тод усреднения излагается в обзоре В. И. Арнольда, В. В. Коз­лова, А. И. Нейштадта «Математические аспекты классической и небесной механики1» (т. 3 настоящего издания).

Мы не касаемся спектральной теории дифференциальных операторов с одной независимой переменной (см., например, [37]); по целям и методам она относится скорее к функцио­нальному анализу. Не включены в обзор также теория интег­ральных преобразований и ее приложения к дифференци­альным уравнениям. Асимптотической теории дифференци­альных уравнений посвящен обзор М. В. Федорюка «Асимпто­тические методы в анализе»; некоторые общие теоремы асимптотической теории имеются в главе 7. Совсем не за­тронут вопрос об интегрировании конкретных уравнений; основ­ным пособием на эту тему является книга Камке (Е. Катке) «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям».

В последние годы произошел резкий подъем активности в исследовании классических проблем теории дифференциальных, уравнений, связанный с проникновением в эту теорию смежных дисциплин: алгебры (теория формальных нормальных форм), алгебраической геометрии (разрешение особенностей), комп­лексного анализа. Мы старались, по возможности, отразить эти исследования в предлагаемой статье.

Изложение ведется с единой точки зрения и с использова­нием единой терминологии. Мы начинаем каждую главу с оп­ределения основных понятий с тем, чтобы сделать наш обзор доступным и для читателя-неспециалиста. В существующей ли­тературе отсутствует единая терминология — даже термин «осо-. бая точка» употребляется в различных значениях. Различие в терминологии и, что еще важнее, в математическом языке при­водит к тому, что в разных источниках близкие результаты формулируются совсем по-разному. Для того, чтобы они вос­принимались как части одного целого, мы зачастую формули­руем их не в том виде, как в первоисточниках.

Исследование каждой проблемы мы старались начинать с рассмотрения объектов общего положения; они наиболее про­сты и одновременно имеют больше всего приложений, по­скольку чаще всего встречаются. Вырождений высокой кораз­мерности мы касаемся только в двух случаях: 1) если все вы­рождения меньшей коразмерности в изучаемой проблеме уже описаны; 2) если проблема исследуется единообразно для вы­рождений всех коразмерностей.

Список литературы не претендует на полноту. В него вклю­чены некоторые учебники, а также монографии общего харак­тера. Большая часть списка состоит из работ, содержащих подробное изложение результатов, сформулированных в обзоре. Для сокращения списка литературы мы пользовались двойны­ми ссылками: если работа цитирована в монографии или статье,, включенной в список литературы, то ссылка на нее имеет вид [а : Ь] или [а, стр. Ь]. Первое означает работу [Ь] . из списка литературы в [а]; второе — работу, цитированную в [а] на стр. Ь. Знак А указывает конец некоторых формулировок.

В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко