Год выпуска: 1985
Жанр: Монография
Издательство: М., ВИНИТИ
Серия: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Выпуск 5, стр. 5-218
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Количество страниц: 218
Описание: Теория бифуркаций фазовых портретов дифференциальных уравнений вблизи положений равновесия и предельных циклов изложена в первых двух главах. Изложение начинается с основных понятий и фактов и заканчивается новыми результатами о бифуркациях в типичных однопараметрических семействах, происходящие на границе множества систем Морса–Смейла. Релаксационные колебания изучены с точки зрения теории особенностей и теории нормальных форм; включены результаты о затягивании потери устойчивости и решениях-утках.
Язык: Русский 

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие................ 9

Глава 1. Бифуркации положений равновесия....... 12

§ 1. Семейства и деформации........... 13

1.1. Семейства векторных полей.......... 13

1.2. Пространство струй............ 13

1.3. Лемма Сарда и теоремы трансверсальности..... 14

1.4. Простейшие приложения: особые точки типичных векторных полей................ 15­1.5. Топологически версальные деформации...... 16>

1.6. Теорема сведения............ 17

1.7. Типичные и главные семейства......... 13

§ 2. Бифуркации особых точек в типичных однопараметрических

семействах........... . 20

2.1. Типичные ростки и главные семейства...... 20

2.2. Мягкая и жесткая потеря устойчивости...... 20

§ 3. Бифуркации особых точек в многопараметрических семействах

общего положения при однократном вырождении линейной части 23

3.1. Главные семейства............ 23

3.2. Бифуркационные диаграммы главных семейств (3*) ... 24­3.3. Бифуркационные диаграммы (относительно слабой эквивалент­ности) и фазовые портреты главных семейств (4±) ... 24-

§ 4. Бифуркации особых точек векторных полей с двукратным вы­рождением линейной части .......... 26

4.1. Список вырождений............ 26

4.2. Два вулевых собственных значения........ 26

4.3. Редукции к двумерным системам........ 27

4.4. Нулевое и пара чисто мнимых собственных значений г 28

4.5. Две чисто мнимых пары.......... 31

4.6. Главные деформации уравнений трудного типа в задаче о двух мнимых парах (по Жолондеку)........ 35

§ 5. Показатели мягкой и жесткой потери устойчивости ... 39

5.1. Определевия.............. 39

5.2. Таблица показателей............ 40

Глава 2. Бифуркации предельных циклов........ 42?

§ 1. Бифуркации предельных циклов в типичных однопараметриче­ских семействах............. 43

1.1. Мультипликатор 1............ 43

1.2. Мультипликатор —1 и бифуркация удвоения периода . . 45

1.3. Пара комплексно сопряженных мультипликаторов ... 45

1.4. Нелокальные бифуркации в однопараметрических семействах диффеоморфизмов............ 47

1.5. Нелокальные бифуркации периодических решений , 49

1.6. Бифуркации распада инвариаитньйс торов......49

$ 2. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах

при однократном дополнительном вырождении.....52

2.1. Перечень вырождений . -..........52

2.2. Мультипликатор 1 или —1 с дополнительным вырождением

в нелинейных членах...........53

2.3. Пара мультипликаторов на единичной окружности с дополни­тельным вырождением в нелинейных членах.....53

^ 3. Бифуркации циклов в типичных двупараметрических семействах

при сильных резоиансах порядка .......55

3.1. Нормальная форма в случае унипотентиой жордаиовой клетки 56

3.2. Усреднение в слоениях Зейферта и Мёбиуса.....57

3.3. Главные поля и деформации.........57

3.4. Версальиость главных деформаций........58

3.5. Бифуркации стационарных решений периодических дифферен­циальных уравнений при сильных резонансах порядка дф4 58

?§ 4. Бифуркации предельных циклов при прохождении пары мульти­пликаторов через ±i...........'. 62

4.1. Вырожденные семейства...........62

4.2. Вырожденные семейства, найденные аналитически ... 63

4.3. Вырожденные семейства, найденные численно.....64

4.4. Бифуркации в невырожденных семействах.....66

4.5. Предельвые циклы систем с симметрией четвертого порядка 66 *§ 5. Конечногладкие нормальные формы локальных семейств . 66

5.1. Обзор результатов............ 67

5.2. Определения и примеры..........67

5.3. Общие теоремы и деформации нерезоиансных ростков . . 69

5.4. Приведение к линейной нормальной форме..... 71

5.5. Деформации ростков диффеоморфизмов типа Пуанкаре . . 71

5.6. Деформации одиорезоиансиых гиперболических ростков . . 72

5.7. Деформации ростков, векторных полей с одним нулевым соб­ственным значением в особой точке....... 74

5.8. Функциональные инварианты диффеоморфизмов прямой . . 75

5.9. Функциональные инварианты локальных семейств диффеомор­физмов ............... 76

5.10. Функциональные инварианты семейств векторных полей 77

5.11. Функциональные инварианты топологической классификации

' локальных семейств диффеоморфизмов прямой (по Руссари) 77

§ 6. Универсальность Фейгенбаума для диффеоморфизмов и потоков 79

6.1. Каскад удвоений............. 79

6.2. Перестройки неподвижных точек........ 80

6.3. Каскад п-кратиых увеличений периода....... 81

6.4. Удвоение в гамильтоновых системах....... 81

6.5. Оператор удвоения для одномерных ' отображений ... 82

6.6. Механизм универсального Удвоения для диффеоморфизмов 84 §"лава 3. Нелокальные бифуркации.......... 86

§ 1. Вырождения коразмерности 1. Сводка результатов .... 87

1.1. Локальные и нелокальные ' бифуркации...... 87

1.2. Негиперболнческие особые точки........ 88

1.3. Негиперболические циклы .......... 90

1.4. Нетрансверсальиые пересечения многообразий .... 91

1.5. Контуры • ............... 92

1.6. Бифуркационные -поверхности . . . ...... 94

1.7. Характеристики -бифуркаций......... 95

1.8. Сводка результатов............ 97

§ 2. Нелокальные бифуркации потоков на двумерных поверхностях 97

2.1. Полулокальные бифуркации потоков на поверхностях . . 98

2.2. Нелокальные бифуркации -на -сфере; однопараметрический случай ............... 99

2.3. Типичные семейства векторных полей....... 100

2.4. Условия типичности.............. 102

2.5. Однопараметрические семейства на поверхностях, отличных от сферы............... 102

2.6. Глобальные бифуркации систем, с глобальной секущей иа торе 104

2.7. Некоторые глобальные бифуркации на бутылке Клейна 105

2.8. Бифуркации иа двумерной сфере. Многопараметрический слу­чай ................ 105

2.9. Некоторые открытые вопросы......... 110>

§ 3. Бифуркации гомоклинических траекторий негиперболической осо­бой точки................ Ill

3.1. Узел по гиперболическим переменным....... lit

3.2. Седло по гиперболическим переменным: одна гомоклииическая ; траектория............... 112

3.3. Топологическая схема Бернулли........ 112?

3.4. Седло по гиперболическим переменным: несколько гомоклини­ческих траекторий . ;.......... 113

3.5. Главные семейства............ 114-

§ 4. Бифуркации гомоклинических траекторий4 иегиперболического

цикла................ 115­4.1. Структура семейства гомоклинических траекторий . . . 115

4.2. Критические и некритические циклы....... 115

4.3. Рождение гладкого двумерного аттрактора..... 115 .

4.4. Рождение сложных инвариантных множеств (некритический случай)............... 117

4.5. Критический случай............ 118»

4.6. Двухшаговый переход от устойчивости к турбулентности 1211

4.7. Некомпактное множество гомоклинических траекторий . . 121

4.8. Перемежаемость......'....... 122

4.9. Достижимость, недостижимость.......... 122"

4.10. Устойчивость семейств диффеоморфизмов..... 124?

4.11. Некоторые открытые вопросы......... 125

§ 5. Гиперболические особые точки с гомоклинической траекторией 127

5.1. Предварительные понятия: ведущие направления и седловые величины............... 127

5.2. Бифуркации гомоклинических траекторий седла, происходящие

на границе множества систем Морса — Смейла .... 127

5.3. Требования общности положения........ 128

5.4. Главные семейства в R3 и их свойства...... 129

5.5. Версальность главных семейств . . .ч...... 132

5.6. Седло с комплексным ведущим направлением в R3 . . . 133­5.7. Добавление: бифуркации гомоклинических петель вне 'границы

множества систем Морса — Смейла....... 137

§ 6. Бифуркации, связанные с иетрансверсальными пересечениями 138.

6.1. Векторные поля без контуров и гомоклинических траекторий 138

6.2. Теорема о недостижимости.......... 139»

6.3. Модули............... 140>

6.4. Системы с контурами........... 141­6.5. Диффеоморфизмы с нетривиальными базисными множествами 141

6.6. Векторные поля в R3 с гомоклинической траекторией цикла 142

6.7. Символическая динамика.......... 143

6.8. Бифуркации «подков Смейла»......... 145

6.9. Векторные поля на бифуркационной поверхности .... 147

6.10. Диффеоморфизмы с бесконечным множеством устойчивых пе­риодических траекторий.......... 148;

§ 7. Бесконечные неблуждающие множества...... 149»

7.1. Векторные поля на двумерном торе....... 149"

7.2. Бифуркации систем с двумя гомоклииическими кривыми седла 15ft

7.3. Системы с аттракторами Фейгенбаума..... 151

7.4. Рождение неблуждающих множеств...... 152

7.5. Сохранение и гладкость инвариантных многообразий (по Фе-ничелю)...... ......... 153

7.6. Вырожденное семейство и его окрестность в функциональном пространстве.............. 154

7.7. Рождение торов в трехмерном фазовом пространстве . . 155 •§ 8. Аттракторы и их бифуркации......... 156

8.1. Вероятностно предельные множества (по Милнору) . . . 157

8.2. Статистически предельные множества....... 157

8.3. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов . . . . 159

8.4. Внутренние бифуркации и кризисы положений равновесия

и циклов............... 160

8.5. Бифуркации двумерного тора......... 161

Глава 4. Релаксационные колебания......... 165

§ 1. Основные понятия............ 166

1.1. Пример. Уравнение Ван дер Поля........ 166

1.2. Быстрые и медленные движения........ 167

1.3. Медленная поверхность и медленное уравнение . . . . 168

1.4. Медленное движение как аппроксимация возмущенного . . 169

1.5. Явление срыва............. 170

§ 2. Особенности быстрого и медленного движений..... 171

2.1. Особенности быстрого движения в точках срыва систем с од­ной быстрой переменной ........... 171

2.2. Особенности проектирования медленной поверхности . . 173

2.3. Медленное движение систем с одной медленной переменной 174

2.4. Медленное движение систем с двумя медленными перемен­ными ...... ......... . 175

2.5. Нормальные формы фазовых кривых медленного движения 176

2.6. Связь с теорией уравнений, не разрешенных относительно производной.............. 179

2.7. Вырождение контактной структуры....... 181

•§ 3. Асимптотика релаксационных колебаний....... 183

3.1. Вырожденные системы........... 183

3.2. Системы первого приближения......... 184

3.3. Нормализация быстро-медленных уравнений с двумя медлен­ными переменными при е>0......... 185

3.4. Вывод систем первого приближения....... 188

3.5. Исследование систем первого приближения..... 188

3.6. Воронки............... 190

3.7. Периодические релаксационные колебания на плоскости . . 190 § 4. Затягивание потери устойчивости при переходе пары собствен­ных значений через мнимую ось......... 192

4.1. Типичные системы ............. 192

4.2. Затягивание потерн устойчивости........ 193

4.3. Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2............... 194

4.4. Гистерезис.............. 195

4.5. Механизм затягивания........... 195

4.6. Вычисление момента срыва в аналитических системах . . 196

4.7. Затягивание при потере устойчивости циклом..... 199

4.8. Затягивание потери устойчивости и «утки»..... 199

■§ 5. Решения-утки.............. 199

5.1. Пример: особая точка на складке медленной поверхности 200

5.2. Существование решений-уток......... 202

5.3. Эволюция простых вырожденных уток . . . . ' . . . 203

5.4. Полулокальное явление: утки с релаксацией..... 204

5.5. Утки и Rs и Rn............. 205

Рекомендуемая литература............ 207

Литература................ 209

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет­ся как название любого скачкообразного изменения, происходя­щего при плавном изменении параметров в любой системе: ди­намической, экологической и т. д. Наш обзор посвящен бифур­кациям фазовых портретов дифференциальных уравнений — не только бифуркациям положений равновесия и предельных цик­лов, но перестройкам системы в целом и, прежде всего, ее ин­вариантных множеств и аттракторов. Такая постановка пробле­мы восходит к А. А. Андронову.

Связи с теорией бифуркаций пронизывают все естествозна­ние. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные зна­чения которых, как правило, неизвестны. Если уравнение, мо­делирующее физическую систему, оказывается структурно не­устойчивым, то есть поведение его решений может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо понять, какие бифуркации фазового портрета про­исходят при изменении параметров.

Часто модельные системы оказываются настолько громозд­кими, что не допускают содержательного исследования, преж­де всего из-за обилия входящих в них переменных. При изуче­нии таких систем часть переменных, мало меняющихся в ходе процесса, как правило, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, кото­рая и исследуется. Однако учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», зача­стую невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как типичные возмущения, и описывать исход­ную модель средствами теории бифуркаций.

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, осве­щают путь от исследованных динамических систем к неиссле­дованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот пере­ход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотиче­скому (турбулентному). С помощью исследования цепочки би­фуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой моде­ли Лоренца конвективного движения; это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, не включены бифуркации в системах с симметриями: система Лоренца центрально симметрична.

К теории бифуркаций, в которой параметры не меняются с течением времени, тесно примыкает теория релаксационных ко­лебаний, изучающая семейства, в которых параметры с течени­ем времени медленно меняются (эти параметры называются «медленными леременными»). В «быстро-медленные» системы теории релаксационных колебаний входит параметр медленно­сти— характерная скорость изменения медленных переменных. При нулевом значении этого параметра быстро-медленная сис­тема превращается в семейство, изучаемое в теории бифурка­ций; при ненулевом возникают специфические явления, иногда называемые «динамическими бифуркациями».

' В обзоре систематически используется связь теории бифур­каций с теорией особенностей. Решение многих, в основном, ло­кальных, проблем теории бифуркаций состоит в том, чтобы предъявить и исследовать так называемое главное семейство — своего рода топологическую нормальную форму для семейств исследуемого класса. Теория особенностей позволяет угадать и частично исследовать главные семейства. Она описывает так­же бифуркации положений равновесия, особенности медленной поверхности, медленные движения в теории релаксационных колебаний и т. д.

Отметим также, что для нелокальной теории бифуркаций оказываются особенно полезными конечногладкие нормальные формы локальных семейств дифференциальных уравнений. Эти нормальные формы значительно упрощают отыскание и ис­следование бифуркаций, а также обоснование и исследование полученных результатов. С другой стороны, нелокальная теория бифуркаций позволяет выделить задачи теории нормальных форм, важные для приложений. На наш взгляд, связь между теорией нормальных форм и нелокальной теорией бифуркаций в настоящее время используется недостаточно.

Наряду с известными, обзор включает ряд новых результа­тов; некоторые из них известны авторам из частных сообще­ний. К ним относятся: полное исследование бифуркаций поло­жений равновесия в типичных двупараметрических семействах векторных полей на плоскости с двумя пересекающимися инва­риантными прямыми (так называемая редуцированная задача о двух мнимых парах, Жолондек, п.п. 4.5, 4.6 главы 1); по­строение конечногладких нормальных форм и функциональных модулей С'-классификации локальных семейств векторных по­лей и диффеоморфизмов (совместно с С. Ю. Яковенко, п.п. 5.7— 5.10 главы 2); построение топологического инварианта вектор­ных полей с гомоклинической траекторией седла, имеющего комплексные собственные значения (п. 5.6 главы 3); описание типичной двупараметрической деформации векторного поля с двумя гомоклиническйми кривыми седла, причем бифуркационная диаграмма деформации содержит континуум компонент (Д. В. Тураев, Л. П. Шильников, п. 7.2 главы 3); определение «статистически предельного множества» — возможного кандида­та на понятие «физического аттрактора» (п. 8.5 главы 3); указа­ние связи между теориями неявных уравнений и релаксационных колебаний и нормализация медленных движений для быстро-медленных систем с одной и двумя медленными переменными (п.п. 2.2—2.7 главы 4); нормализация быстро-медленных уравне­ний, написание и исследование систем первого приближения (п.п. 3.2—3.5 главы 4); исследование затягивания потери устой­чивости в типичных быстро-медленных системах при переходе пары собственных значений устойчивой особой точки быстрого уравнения через мнимую ось (динамическая бифуркация рож­дения цикла; А. И. Нейштадт, § 4 главы 4). Отметим также гипотезу о бифуркациях в типичных многопараметрических семействах векторных полей на плоскости, тесно связанную с шестнадцатой проблемой Гильберта (п. 2.8 главы 3).

Наш обзор, естественно, является неполным. Мы не включи­ли в него, сравнительно немногочисленные, работы о локальных бифуркациях в трехпараметрических семействах и о нелокаль­ных бифуркациях в двупараметрических семействах; некоторые ссылки даны в списке литературы. В описании нелокальных би­фуркаций мы ограничились только теми, которые происходят на границе множества систем Морса—Смейла. Теория таких би­фуркаций в значительной части завершена, хотя и недостаточ-. но широко известна: посвященные ей работы математиков Горьковской школы зачастую публиковались в труднодоступных источниках. Не исследована та часть границы множества сис­тем Морса—Смейла, на которой возникает счетное множество неблуждающих траекторий; этой проблеме посвящен § 7 гла­вы 3. Для сохранения единства стиля мы формулируем извест­ные результаты зачастую не в том виде, как в первоисточниках.

Главы 1 и 2, кроме п. 1.6, написаны В. И. Арнольдом и Ю. С. Ильяшенко. Глава 3, в ее окончательной редакции, на­писана В. С. Афрамовичем и Ю. С. Ильяшенко при участии В. И. Арнольда и Л. П. Шильникова. Пункт 1.6 главы 2 напи­сан В. С. Афраймовичем. Параграфы 1 и 2 главы 4 написаны В. И. Арнольдом, § 3, кроме п. 3.7, Ю. С. Ильяшен-"ко. Пункт 3.7 главы 4 написан Н. X. Розовым, § 4 — .А. И. Нейштадтом, § 5 — А. К- Звонкиным. Авторы при­носят им свою искреннюю благодарность. Список ли­тературы не претендует на полноту. При его составлении мы исходили из тех же принципов, что и в обзоре [26]; в частности, использовалась система двойных ссылок — [а: Ь] или [с, стр. Ь]. Первое обозначает работу [Ь] из списка литера­туры в [с], второе—работу, цитированную в [с] на стр. [Ь]. •Знак ▲ указывает конец некоторых формулировок.