СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 7

Глава 1. Линейная симплсктичсская геометрия 8

§ 1. Симплектическое пространство 8

1.1. Кососкалярное произведение 8

1.2. Подпространства 8

1.3. Лагранжев грассманиан 9 § 2. Линейные гамильтоновы системы 10

2.1. Симплектическая группа и ее алгебра Ли 10

2.2. Комплексная классификация гамильтонианов 12

2.3. Линейные вариационные задачи 12

2.4. Нормальные формы вещественных квадратичных гамильтонианов 13

2.5. Знакоопределенные гамильтонианы и принцип минимакса 14 § 3. Семейства квадратичных гамильтонианов 15

3.1. Понятие миниверсальной деформации 15

3.2. Миниверсальные деформации квадратичных гамильтонианов 17

3.3. Семейства общего положения 17

3.4. Бифуркационные диаграммы m § 4. Симплектическая группа 20

4.1. Спектр симплектического преобразования 20

4.2. Экспоненциальное отображение и параметризация Кэли 21

4.3. Подгруппы симплектической группы 21

4.4. Топология симплектической группы 22

4.5. Линейные гамильтоновы системы с периодическими коэффициентами 23

Глава 2. Симплектические многообразия 26

§ 1. Локальная симплектическая геометрия 26

1.1. Теорема Дарбу 26

1.2. Пример: вырождения замкнутых 2-форм в R4 26

1.3. Ростки подмногообразий симплектического пространства 27

1.4. Классификация ростков подмногообразий 28

1.5. Внешняя геометрия подмногообразий 29

1.6. Комплексный случай 30 § 2. Примеры симплектических многообразий 30

2.1. Кокасательные расслоения 3 0

2.2. Комплексные проективные многообразия 31 2.3 Кэлеровы и симплектические многообразия 32 2.4. Орбиты коприсоединенного действия групп Ли 33

§ 3. Скобка Пуассона 34

3.1. Алгебра Ли функций Гамильтона 34

3.2. Пуассоновы многообразия 35

3.3. Линейные пуассоновы структуры 3 7

3.4. Проблема линеаризации 38

§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 39

4.1. Примеры лагранжевых многообразий 39

4.2. Лагранжевы расслоения 40

4.3. Пересечения лагранжевых многообразий и неподвижные точки симплектоморфизмов 42

Глава 3. Симплектическая геометрия и механика 46

§ 1. Вариационные принципы 46

1.1. Лагранжева механика 47

1.2. Гамильтонова механика 48

1.3. Принцип наименьшего действия 49

1.4. Вариационные задачи со старшими производными 51

1.5. Многообразие характеристик 52

1.6. Кратчайший обход препятствия 53 § 2. Вполне интегрируемые системы 55

2.1. Интегрируемость по Лиувиллю 55

2.2. Переменные «действие — угол» 56

2.3. Эллиптические координаты и геодезические на эллипсоиде 58

2.4. Пуассоновы пары 61

2.5. Функции в инволюции на орбитах коалгебр Ли 62

2.6. Представление Лакса 63 § 3. Гамильтоновы системы с симметриями 65

3.1. Пуассоновские действия и отображения моментов 65

3.2. Приведенное фазовое пространство и приведенные гамильтонианы 66

3.3. Скрытые симметрии 67

3.4. Пуассоновы группы 68

3.5. Геодезические левоинвариантных метрик и уравнение Эйлера 69

3.6. Относительные равновесия 70

3.7. Некоммутативная интегрируемость гамильтоновых систем 71

3.8. Пуассоновские действия торов 72 Глава 4. Контактная геометрия 75 § 1. Контактные многообразия 75 1.1. Контактная структура 75

1.2. Примеры 76

1.3. Геометрия подмногообразий контактного пространства 78 1.4 Вырождения дифференциальных 1 -форм в Rn 80

§ 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы 82

2.1. Симплектизация 82

2.2. Алгебра Ли инфинитезимальных контактоморфизмов 83

2.3. Контактизация 85

2.4. Лагренжевы вложения в R2n 85 § 3. Метод характеристик 87

3.1. Характеристики на гиперповерхности в контактном пространстве 87

3.2. Уравнения с частными производными первого порядка 87

3.3. Геометрическая оптика 88

3.4. Уравнение Гамильтона — Якоби 89 Глава 5. Лагранжевы и лежандровы особенности 91 § 1. Лагранжевы и лежандровы отображения 91

1.1. Фронты и лежандровы отображения 91

1.2. Производящие семейства гиперповерхностей 93

1.3. Каустики и лагранжевы отображения 95

1.4. Производящие семейства функций 96

1.5. Резюме 98 § 2. Классификация критических точек функций 98

2.1. Версальные деформации: неформальное описание 98

2.2. Критические точки функций 100

2.3. Простые особенности 101

2.4. Платоновы тела 101

2.5. Миниверсальные деформации 102 § 3. Особенности волновых фронтов и каустик 103

3.1. Классификация особенностей волновых фронтов и каустик в

малых размерностях 104

3.2. Краевые особенности 105

3.3. Группы Вейля и простые фронты 108

3.4. Перестройки волновых фронтов и каустик 110

3.5. Фронты в задаче об обходе препятствия 114 Глава 6. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы 117 § 1. Индекс Маслова 117

1.1. Квазиклассическая асимптотика решений уравнения Шрёдингера 118

1.2. Индекс Морса и индекс Маслова 118

1.3. Индекс Маслова замкнутых кривых 120

1.4. Лагранжев грассманиан и универсальный класс Маслова 121

1.5. Кобордизмы волновых фронтов на плоскости 123 § 2. Кобордизмы 125

2.1. Лагранжев и лежандров край 125

2.2. Кольцо классов кобордизма 126

2.3. Векторные расслоения с тривиальной комплексификацией 126

2.4. Кобордизмы гладких многообразий 127

2.5. Группы лежандровых кобордизмов как гомотопические группы 128

2.6. Группы лагранжевых кобордизмов 129 § 3. Характеристические числа 130

3.1. Характеристические классы векторных расслоений 130

3.2. Характеристические числа классов кобордизма 131

3.3. Комплексы особенностей 132

3.4. Сосуществование особенностей 133 

Литература 136

ПРЕДИСЛОВИЕ

Симплектическая геометрия — это математический аппарат таких областей физики, как классическая механика, геомет­рическая оптика и термодинамика. Всякий раз, когда уравне­ния теории могут быть получены из вариационного принщта, симплектическая геометрия проясняет и приводит в систему соотношения между входящими в теорию величинами. Симплек­тическая геометрия упрощает и делает обозримым устрашаю­щий формальный аппарат гамильтоновой динамики и Ёариаци-онного исчисления таким же образом, как обычная геометрия линейных пространств сводит громоздкие координатные вычис­ления к небольшому числу простых основных принципов.

В настоящем обзоре изложены простейшие основные понятия симплектической геометрии. Приложения симплектической гео­метрии к механике более подробно обсуждаются в томе 3 дан­ной серии, к теории интегрируемых систем и квантованию — в статьях А. А. Кириллова, Б. А. Дубровина, И. М.- Кричевера, •С. П. Новикова в этом томе.