СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие................ 9

Глава 1. Основные принципы классической механики..... 11

§ 1. Ньютонова механика............ 11

1.1. Пространство, время, движение......... Н

1.2. Принцип детерминированности Ньютона — Лапласа ... 12

1.3. Принцип относительности.......... 14

1.4. Основные динамические величины. Законы сохранения . . 16 § 2. Лагранжева механика........... . 18

2.1. Предварительные замечания.......... IS

2.2. Вариации и экстремали........... 20

2.3. Уравнения Лагранжа............ 22

2.4. Уравнения Пуанкаре............ 24

2.5. Движение со связями........... 27

§ 3. Гамильтоиова механика........... 31

3.1. Симплектическая структура и уравнения Гамильтона ... 31

3.2. Производящие функции........... 33

3.3. Симплектическая структура кокасательного расслоения . . 34

3.4. Задача п точечных вихрей.......... 36

3.5. Действие в фазовом пространстве........ 37

3.6. Интегральные инварианты.......... 38

3.7. Приложение к динамике идеальной жидкости..... 41

3.8. Принцип стационарности укороченного действия .... 41 § 4. Вакономная механика............ 43

4.1. Задача Лагранжа............ 44

4.2. Вакономная механика........... 45

4.3. Принцип детерминированности......... 48

4.4. Уравнения Гамильтона в избыточных координатах ... 49 § 5. Гамнльтонов формализм со связями........ 50

5.1. Задача Дирака............. 50

5.2. Двойственность............. 52

§ 6. Реализация связей............. 53

6.1. Различные способы реализации связей....... 53

6.2. Го.юномные связи............ 54

6.3. Анизотропное трение............ 55

6.4. Присоединенные массы........... 56

6.5. Присоединенные массы и анизотропное трение .... 58

6.6. Малые массы.............. 60

Глава 2. Задача п тел............. 61

§ 1. Задача двух тел........ 61

1.1. Орбиты............... 61

1.2. Аномалии............... °5

1.3. Столкновения и регуляризация......... 68

1.4. Геометрия задачи Кеплера.......... 69

§ 2. Столкновения и регуляризация......... 70

2.1. Необходимое условие устойчивости........ 70

2.2. Одновременные столкновения......... 71

2.3. Парные столкновения........... 72

2.4. Особенности решений задачи л тел....... 74

§ 3. Частные решения............. 77

3.1. Центральные конфигурации.......... 77

3.2. Томографические решения.......... 78

3.3. Приведенный потенциал и относительные равновесия ... 79 § 4. Финальные движения в задаче трех тел....... 80

4.1. Классификация финальных движений по Шази .... 80

4.2. Симметрия прошлого и будущего........ 81

§ 5. Ограниченная задача трех тел......... 82

5.1. Уравнения движения. Интеграл Якобн....... 82

5.2. Относительные равновесия и области Хилла..... 83

5.3. Задача Хилла.............. 85

§ 6. Эргодические теоремы небесной механики...... 88

6.1. Устойчивость по Пуассону......... 88

6.2. Вероятность захвата............ 89

Глава 3. Группы симметрии н понижение порядка...... 91

§ 1. Симметрии и линейные интегралы......... 91

1.1. Теорема Нётер.............. 91

1.2. Симметрии в неголономной механике....... 95

1.3. Симметрии в вакономной механике........ 97

1.4. Симметрии в гамильтоновой механике....... 97

§ 2. Приведение систем с симметриями........ 99

2.1. Понижение порядка (лагранжев аспект)...... 99

2.2. Понижение порядка (гамильтонов аспект)...... 104

2.3. Примеры: свободное вращение твердого тела и задача трех тел 110 § 3. Относительные равновесия и бифуркации интегральных много­образий ................ 115

3.1. Относительные равновесия и приведенный потенциал 115

3.2. Интегральные многообразия, области возможности движения

и бифуркационные множества......... 116

3.3. Бифуркационное множество в плоской задаче трех тел 118

3.4. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в за­даче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой 119

Глава 4. Интегрируемые системы и методы интегрирования ... 121 § 1. Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамиль-

тоновых систем.........'..... 121

1.1. Квадратуры.............. 121

1.2. Полная интегрируемость........... 123

1.3. Нормальные формы........" 125

§ 2. Вполне интегрируемые системы......... 128

2.1. Переменные действие — угол......... 128

2 2. Некоммутативные наборы интегралов....... 132

2.3. Примеры вполне интегрируемых систем...... 134

§ 3. Некоторые методы интегрирования гамильтоновых систем 138

3.1. Метод разделения переменных......... 138

3 2. Метод L — А пары............ 144

§ 4. Интегрируемые неголономные системы....... 145

4.1. Дифференциальные уравнения с инвариантной мерой . 145

4.2. Некоторые решенные задачи неголономной механики 148 Глава 5. Теория возмущений интегрируемых систем..... 152

§ 1. Усреднение возмущений........... 152

1.1. Принцип усреднения............ 152

1.2. Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай................ 155

1.3. Процедура исключения быстрых переменных. Резонансный случай 159

1.4. Усреднение в одночастотных системах....... '60

1.5. Усреднение в системах с постоянными частотами .... 167

1.6. Усреднение в нерезонансной области....... 169

1.7. Влияние отдельного резонанса......... 170

1.8. Усреднение в двухчастотных системах....... 175

1.9 Усреднение в многочастотных системах...... 179

§ 2. Усреднение в гамилугоновых системах....... 181

2.1. Применение принципа усреднения ..... 181

2.2. Процедуры исключения быстрых переменных 189 § 3. Теория К AM.............. 197

3.1. Невозмущенное движение. Услозия невырожденности ... 197

3.2. Инвариантные торы возмущенной системы...... 198

3.3 Системы с двумя степенями свободы....... 200

3 4. Диффузия медленных переменных в многомерных системах и ее

экспоненциальная оценка .......... 203

3.5. Разные варианты теоремы об инвариантных торах . 205

3.6. Вариационный принцип для инвариантных торов. Канторо-торы 208

3.7. Приложения теории КАМ.......... 211

§ 4. Адиабатические инварианты.......... 214

4.1. Адиабатическая инвариантность переменной (-действие» в одно-частотных системах............ 214

4.2. Адиабатические инварианты многочастотных гамнльтоновых систем................ 219

4.3. Процедура исключения быстрых переменных. Время сохранения адиабатического инварианта .......... 221

4.4. Точность сохранения адиабатического инварианта .... 222

4.5. Вечное сохранение адиабатических инвариантов .... 224 Глава 6. Неинтегрнруемые системы.......... 226

§ 1. Гамильтоновы системы, мало отличающиеся от интегрируемых 226

1.1. Метод Пуанкаре............. 227

1.2. Рождение изолированных периодических решений — препятствие

к интегрируемости ............ 229

1.3. Приложения метода Пуанкаре......... 232

§ 2. Расщепление асимптотических поперхностей...... 235

2.1. Условия расщепления........... 235

2.2. Расщепление асимптотических поверхностей — препятствие к ин­тегрируемости .............. 239

2.3. Некоторые приложения........... 242

§ 3. Квазислучанные колебания.......... 246

3.1. Отображение исследования.......... 247

3.2. Символическая динамика.......... 250

3.3. Отсутствие аналитических интегралов....... 252

§ 4. Неннтегрнруемость в окрестности положения равновесия (метод

К. Зигеля)............... 253

§ 5. Ветвление решений и отсутствие однозначных интегралов . . 257

5.1. Ветвление решений — препятствие к интегрируемости . . ■ 257

5.2. Группы монодромии гамнльтоновых систем с однозначными интегралами.............. 260

§ 6. Топологические и геометрические препятствия к полной интегри­руемости натуральных систем с Двумя степенями свободы . . 264

6.1. Топология пространства положений интегрируемой системы 264

6.2. Геометрические препятствия к интегрируемости .... 266 Глава 7. Теория малых колебаний.......... 267

§ I. Линеаризация.............. 267

§ 2. Нормальные формы линейных колебаний...... 268

2.1. Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы 268

2.2. Теоремы Релея — Фишера — Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи . . . 269

2.3. Нормальные формы квадратичных гамильтонианов . . 269 § 3. Нормальные формы гамнльтоновых систем около равновесия 271

3.1. Приведение к нормальной форме........ 271

3.2. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрест­ности равновесия при резонансе ......... 274

3.3. Устойчивость равновесий гамнльтоновых систем с двумя степе­нями свободы при резонансах......... 280

§ 4. Нормальные формы гамнльтоновых систем около замкнутых

траекторий............... 282

4.1. Сведение к равновесию системы с периодическими коэффици­ентами ............... 282

4.2. Приведение системы с периодическими коэффициентами к нор­мальной форме............. 282

4.3. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе ....... 282

§ 5. Устойчивость равновесия в потенциальном поле..... 287

Комментарии к списку литературы.......... 291

Рекомендуемая литература............ 292

Литература................. 294

Предметный указатель............. 301

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой работе описаны основные принципы, задачи и мето­ды классической механики. Основное внимание уделено матема­тической стороне предмета. Хотя физическая основа рассматри­ваемых моделей, а также прикладные аспекты изучаемых явле­нии затронуты в значительно меньшей степени, авторы стреми­> изложить в первую очередь «рабочий» аппарат классиче-ч механики. Этот аппарат содержится, в основном, в гла-1, 3, 4 и 5.

'лава 1 посвящена основным математическим моделям

гсической механики, которые обычно используются для опи­сания движения реальных механических систем. Особое внима­ние уделено изучению движения со связями, а также вопросам реализации связей в динамике.

В главе 3 обсуждаются группы симметрии механических си­стем и отвечающие им законы сохранения. Там же изложены ичные аспекты теории понижения порядка систем с сим-метриями, часто использующейся в приложениях.

Глава 4 содержит краткий обзор различных подходов к про­блеме интегрируемости уравнений движения и некоторые наи­более общие и эффективные методы их интегрирования. Указа­ны разнообразные примеры проинтегрированных задач, состав­ляющих «золотой фонд» классической динамики. Материал этой гл 1вы используется в главе 5, посвященной одному из наиболее результативных разделов механики — теории возмущений. Основная задача теории возмущений — исследование задач ме­ханики, мало отличающихся от задач, точно проинтегрирован­ных. Элементы этой теории (в частности, широко известный и применяемый «принцип усреднения») возникли в небесной ме­ханике в связи с попытками учесть взаимные гравитационные возмущения планет Солнечной системы. К главам 4 и 5 при­мыкает глава б, в которой исследована принципиальная воз­можность интегрирования уравнений движения (в точно опре­деленном смысле). Оказывается, интегрируемые системы яв­ляются редким исключением и это обстоятельство повышает роль приближенных методов интегрирования, изложенных в <лаве 5. Классическим вопросам небесной механики посвящена вторая глава. В ней рассмотрена интегрируемая задача 2-х тел, классификация финальных движений задачи 3-х тел, содержит­ся анализ столкновений и вопросы регуляризации в общей зада­че п гравитирующих точек, различные предельные варианты этой задачи. С точки зрения теории возмущений задача п тел обсуждается в главе 5; основное внимание уделено проблеме устойчивости Солнечной системы. Элементы теории колебаний механических систем изложены в главе 7.

Наш текст, конечно, не претендует на полноту. Он также не является учебным пособием по теоретической механике: в нем практически отсутствуют подробные доказательства. Основное назначение нашей работы — познакомить читателя с классиче­ской механикой в целом — как с классическими, так и с самы­ми современными ее аспектами. Необходимые доказательства, а также более подробные сведения читатель найдет в книгах и оригинальных работах по этому предмету, указанных в кон­це данного тома.