|
Авдуевский В.С. Математическое моделирование конвективного теплообмена на основе уравнений НаМатематическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье— Стокса В. И. Полежаев, А. В. Б у н э, Н. А. Верезуби др.— М: Наука, 1987. В монографии систематизированы полученные в последние годы результаты изучения процессов конвекции, тепло- и массообмена на основе двумерных нестационарных уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска. Рассмотрены методы численного решения уравнений Навье—Стокса и ускорения расчетов с помощью конвейерной обработки, методы графической и статистической обработки результатов расчетов. Изложены математические модели и результаты исследований конвекции, тепло- и массообмена для технических, технологических приложений, в геофизической гидродинамике. Приведены сведения о специальном математическом обеспечении, разработанном для решения данного класса задач. Книга предназначена для специалистов в области механики жидкости и газа, вычислительной гидродинамики, теплофизики, геофизической гидродинамики, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей. Табл. 19. Ил. 135. Библиогр. 280 назв.
ОТ РЕДАКТОРА Исследования по механике жидкости и газа на основе уравнений Навье—Стокса имеют в нашей стране давние традиции. Начало им положено еще в первой половине 60-х годов в трудах участников семинара НИИ ВЦ МГУ по численным методам аэромеханики, работавшего под руководством Г. И. Петрова, Л. А. Чудова, Г. Ф. Теленина, Г. С. Рослякова1. Эти работы успешно развивались благодаря значительным достижениям советских ученых в вычислительной математике. Важное значение имели всесоюзные школы-семинары по численным методам в механике вязкой жидкости, которые проводились под руководством Н. Н. Яненко в 1966—1983 гг. Среди многих рассматривавшихся в то время классов задач гидро- и аэродинамики, решение которых не могло быть получено в рамках теории пограничного слоя или невязкого газа (отрывные течения, взаимодействие ударной волны и пограничного слоя, структура ударной волны и т. д.), в работах В. И. Полежаева было значительно продвинуто изучение естественно-конвективных процессов. Эффективные численные методы и программы, разработанные для этого класса задач, позволили уже на ЭВМ второго поколения решить многие практически важные задачи (изучение эффективности тепловой изоляции, теплообмен и температурное расслоение при хранении жидкости в сосудах, конвекция в глубокой атмосфере для интерпретации данных зондирования атмосферы Венеры, исследование гидромеханики невесомости и анализ результатов технологических экспериментов в космосе), а также исследовать структуру нелинейных конвективных течений. В предлагаемой читателю коллективной монографии изложены результаты следующего этапа исследований упомянутого класса задач, которые получены в течение примерно десяти лет в лаборатории численного моделирования в гидродинамике Института проблем механики АН СССР В. И. Полежаевым и его сотрудниками. Этот этап связан с освоением ЭВМ следующих поколений, в том числе ЭВМ с конвейерной обработкой, а также с дальнейшим усовершенствованием и расширением круга применяемых численных методов и разработкой специального математического обеспечения. Это дало возможность не только расширить класс решаемых задач, но и существенно приблизить диапазон определяющих критериев подобия к тому, который имеет место в реальных технических, технологических и природных процессах. В книге изложены оригинальные результаты, полученные ее авторами на всех этапах математического моделирования конвекции и тепломассообмена на основе нестационарных уравнений Навье — Стокса, включая методы их численного решения и ускорения расчетов, а также методы графической и статистической обработки, и подробно рассмотрено применение всей этой сложной техники к физическим задачам, которые, как правило, не могут быть решены какими-либо другими средствами. Завершенность математического аппарата и методическая направленность книги делают ее чрезвычайно полезной для тех специалистов, которые начинают трудный путь освоения и применения в своей практической деятельности методов математического моделирования на основе уравнений Навье—Стокса. К настоящему времени становится все более ясным, что все проблемы, возникающие в аэро- и гидродинамике при численном решении уравнений' Навье—Стокса, вряд ли будут решены даже при использовании разрабатываемых сегодня ЭВМ пятого поколения с десятками и даже сотнями миллиардов операций в секунду. Поэтому в связи со всевозрастающим применением ЭВМ при решении научно-технических задач важно обеспечить как можно большую научную и практическую «жатву». Это возможно лишь при условии глубокого проникновения методов математического моделирования в ту или иную предметную область. Данная книга представляет в этом отношении хороший пример. Задачи конвекции в замкнутых плоских областях и сосудах, которые были исторически первыми для моделирования на основе уравнений Навье—Стокса, стали уже классическими. Для этого класса задач (или для так называемых моделей общего назначения) авторами установлены фундаментальные закономерности, к числу которых относится эффект максимума температурного (концентрационного) расслоения. В книге приводятся многочисленные примеры расчета многовихревых (или, как теперь говорят, самоорганизованных) структур, возникающих после потери устойчивости равновесия или конвективного движения, включая первые попытки прямого численного моделирования переходных и турбулентных режимов конвекции. Из рассмотренных в книге новых физических задач, изученных с помощью разработанных методов, обращают на себя внимание задачи о локальных естественно-конвективных процессах в стратифицированной жидкости, а также задачи о конвективном тепло- и массообмене при выращивании кристаллов. Визуализация конвективных процессов, выявление тех их свойств, которые могут быть причиной дефектов в кристаллах, и многопараметрические численные исследования позволяют сделать более целенаправленным поиск путей улучшения характеристик кристаллов и в дальнейшем управлять получением кристаллов с заданными структурой и свойствами. Большое значение для народного хозяйства приобретают методы гидродинамики и при разработке технологий получения новых материалов. Благодаря достигнутому в работе авторов высокому уровню исследований открываются перспективы широкого применения методологии и конкретных физических результатов в рассматриваемых направлениях, а также пути более эффективного применения методов математического моделирования с использованием современной вычислительной техники — от супер-ЭВМ до персональных мини-ЭВМ в различных предметных областях. В. С. Авдуевский
ПРЕДИСЛОВИЕ Развитие механики жидкости и газа и ее приложений в последние годы связано с применением общих математических моделей, основанных на уравнениях Навье—Стокса. Эти уравнения, выведенные более 150 лет назад, еще в середине XIX в., в общем виде мало изучены и содержат огромный запас информации. Их частными случаями являются классические уравнения идеальной (невязкой) жидкости и уравнения пограничного слоя. Следствием исходных уравнений Навье—Стокса являются также уравнения акустики, внутренних волн, теории устойчивости и осредненные уравнения турбулентного движения (уравнения Рейнольдса). Однако все упомянутые уравнения, многие из которых имеют достаточно сложный характер, не обнаруживают всего богатства физических эффектов, присущих исходным уравнениям Навье— Стокса. Ввиду специфической нелинейности последних, наличия малого параметра при старшей производной в сочетании с пространственным характером движения и нестационарностью их можно изучать, по-видимому, лишь с помощью численных методов. Принципиальное значение имеет возможность прямого численного моделирования турбулентных режимов движения жидкости на основе нестационарных уравнений Навье—Стокса. Вплоть до середины 60-х годов XX в., т. е. до начала широкого распространения ЭВМ и численных методов в гидродинамике, постановка задачи об отыскании сложных и зависящих от большого числа параметров численных решений уравнений Навье— Стокса была непривычной и вызывала дискуссии. В настоящее время численное моделирование на основе уравнений Навье— Стокса сформировалось как самостоятельное направление в механике жидкости и газа, ее приложениях к аэрогидродинамике, машиностроению, энергетике, технологии, а также к изучению природных явлений. Для многих приложений сегодня требуется все более точный расчет характеристик рабочих процессов при поиске оптимальных конструкторских и технологических решений, направленных на повышение надежности, снижение металлоемкости, энергоемкости конструкций и затрат на их обработку, улучшение эксплуатационных характеристик машин и технологических аппаратов, повышение качества материалов. Наряду с непрерывным ростом производительности ЭВМ и совершенствованием численных методов это создает объективные предпосылки для дальнейшего развития численного моделирования на основе уравнений Навье—Стокса, содержащих значительный «резерв знаний». Из многих классов задач механики вязкой жидкости, которые изучались на основе уравнений Навье—Стокса, в последние годы заметный прогресс был достигнут в области естественно-конвективного тепло- и массообмена и связанных с ним приложений. Естественной конвекцией называют движения, которые вызываются подъемными силами, обусловленными неоднородностью температуры и (или) состава жидкости или газа в поле силы тяжести. Это гравитационная (тепловая или концентрационная) конвекция. В последнее время термином «естественная конвекция» обозначаются и другие — негравитационные разновидности конвекции, причиной которых являются градиенты сил поверхностного натяжения на границе раздела газ—жидкость или жидкость—жидкость (термокапиллярная или концентрационно-ка-пиллярная конвекция). Указанные механизмы конвекции универсальны и лежат в основе большинства встречающихся в природе движений жидкости или газа, они оказывают существенное влияние на тепловые режимы элементов конструкций, в том числе на эффективность теплоизоляции, однородность и структурное совершенство многих видов материалов, получаемых из жидкой (газовой) фазы, на качество разделения веществ и др. Физическими особенностями этого класса движений являются сложная внутренняя структура, в которой трудно выделить пограничный слой и «ядро» течения. Существенную роль играет взаимное влияние полей движения, температуры и концентрации при наличии сильной зависимости этих полей от начальных и граничных условий, определяющих критериев подобия и различных осложняющих факторов. Числовые значения основных критериев подобия для задач конвективного теплообмена (чисел Рейнольдса Рэлея, Марангони) изменяются в природе и технике в широких пределах. Реализация численных решений при значениях этих критериев, соответствующих условиям работы технических и технологических установок, как правило, затруднена. Важную роль в задачах конвекции играют физические свойства веществ, также изменяющиеся в широком диапазоне, и геометрия особенности граничных условий. Это приводит к многопараметрическому характеру критериальной зависимости искомых характеристик конвективного тепло- и массообмена. Следует отметить что для практических приложений представляет интерес определение не только традиционных характеристик —средних и местных потоков тепла, необходимых для обеспечения теплового режима элементов конструкций, но и более тонких характеристик, таких, как температурное расслоение (стратификация) а также структура конвекции, приводящих к макро-и микронеоднородностям температурных и концентрационных П°ЛМетод математического моделирования, или, как иногда говорят вычислительный эксперимент, который разрабатывается и систематически применяется в книге для решения упомянутого класса задач в его наиболее развитой форме слагается из следующих этапов: 1) выбор физической модели исследуемого явления и определение совокупности определяющих его исходных данных; 2) построение математической модели, т. е. уравнений и краевых условий, в той или иной мере адекватно описывающих это явление; 3) разработка численного метода и алгоритма решения задачи или выбор того или иного известного метода; 4) разработка программы или комплекса программ для решения задачи и обработки результатов на ЭВМ; 5) проведение расчетов, анализ и обработка результатбв; 6) практическое применение результатов, включающее сравнение их с данными физического (лабораторного или натурного) эксперимента, позволяющее сделать заключение об адекватности математической модели рас- • сматриваемому реальному физическому явлению и о необходимости той или иной корректировки физической (математической) модели, усовершенствования численного метода или его программной реализации на ЭВМ. Содержание каждого из рассмотренных этапов зависит от класса задач, применяемого математического аппарата и вычислительной техники, требований к полноте и точности описания физического процесса, предъявляемых практикой, и в значительной степени определяется уровнем развития той или иной предметной области. В механике жидкости и газа математическое моделирование на основе уравнений Навье—Стокса является следующим шагом вслед за моделированием на основе уравнений Эйлера и уравнений пограничного слоя, поэтому естественны высокие требования к эффективности вычислительных методов, быстродействию и памяти ЭВМ и совершенству методов обработки информации, в особенности при моделировании режимов течения, соответствующих потере устойчивости и переходу к турбулентному режиму движения. Очень важным является в этом случае обеспечение непрерывности и в некотором смысле «равнопрочности» упомянутых выше этапов технологической цепочки математического моделирования. Эти обстоятельства в значительной степени влияли как на выполнение излагаемой в книге работы, так и на структуру самой книги. В книге изложен этап работ, выполненных авторами в течение десяти последних лет в лаборатории численного моделирования в гидродинамике Института проблем механики АН СССР. В методическом отношении книга является развитием и углублением соответствующего раздела книги 1122]. В упомянутой книге, предназначенной для первоначального чтения, рассмотрены основы численного моделирования процессов тепло- и^массообмена, включая элементы теории метода конечных разностей, модельные задачи, методы решения уравнений пограничного слоя, а также уравнений Навье—Стокса несжимаемой жидкости, и дан исторический обзор развития соответствующих работ. Глава 1 настоящей книги посвящена изложению методов численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье— Стокса (приближение Буссинеска). К этим уравнениям, записанным в переменных вихрь — функция тока, в книге систематически применяется метод конечных разностей (МКР). Рассмотрены различные варианты конечно-разностных схем с раздельным решением нестационарных уравнений типа «переноса» для вихря, температуры и концентрации и стационарного уравнения Пуассона для функции тока. Усовершенствование этого класса схем привело к сокращению времени счета на порядок, а в отдельных случаях на два—три порядка, что эквивалентно переходу на новое поколение ЭВМ. Существенное ускорение расчетов достигается также за счет применения специальных процессоров. В последние годы для решения уравнений Навье—Стокса все больше применяется метод конечных элементов (МКЭ), позволяющий расширить класс решаемых задач на области сложной геометрии, улучшить аппроксимацию некоторых классов схем, эффективно использовать неравномерные сетки. Этот метод применяется в книге для уравнений Навье—Стокса (приближение Буссинеска), записанных в переменных скорость—давление. Трудности технической реализации МКЭ в настоящее время во многом преодолены, и этот метод начинает все более активно использоваться на ЭВМ серии ЕС. Роль конечно-элементных схем велика и для изучения свойств конечно-разностных схем и их модификации. Методу конечных элементов принадлежит большое будущее при решении уравнений Навье—Стокса в связи с непрерывным совершенствованием методов решения соответствующих алгебраических систем и увеличением быстродействия ЭВМ. Многочисленные тесты численных методов, включая сопоставления с экспериментальными данными, приводятся в различных главах книги. Наряду с изложением методов численного решения в книге приведены (см. гл. 2) оригинальные результаты разработки других составляющих математического моделирования (ускорение расчетов с помощью конвейерной обработки, статистическая и графическая обработка численных реализаций), а также конкретные физические результаты. Результаты физического характера, рассмотренные в гл. 3—5 книги, соответствуют трем основным направлениям приложения теории конвективного тепло- и массообмена: в технике, технологии и геофизике,—где математическое моделирование на основе уравнений Навье—Стокса нашло систематическое применение. К новым физическим результатам относятся: 1) подтверждение и расширение области применения, в том числе в технологических процессах, эффекта максимума температурного и концентрационного расслоения (разд. 3.2, 3.3, 4.2, 4.3);
Сведения о специальном математическом обеспечении приведены в гл. 6, завершающей книгу. Несмотря на то что в книге рассмотрены конвективные движения, зависящие только от двух пространственных переменных, выполненная методическая работа и полученные результаты необходимы для уже начавшегося этапа изучения трехмерных конвективных процессов. Из-за ограниченного объема книги в ней не отражены результаты по конвекции и переносу тепла в пористых средах, исследованию тепло- и массообмена в невесомости и некоторым другим техническим приложениям, коротко представлены и результаты численного моделирования турбулентных режимов конвекции на основе уравнений Навье—Стокса [60— 64, 89, 128, 131] (см. также [153, 154, 221, 222, 249]). Книга обобщает материал более 50 оригинальных работ, опубликованных коллективом авторов в 1976—1985 гг. [3, 14, 20—25, 27, 30—32, 36, 50, 55—66, 71—73, 81, 82, 86, 122, 124, 126—128, 130, 131, 133, 140, 143—151, 176, 177, 182—185, 254—256]. Предисловие и глава 1 написаны В. И. Полежаевым, разд. 2.3 и 5.2— А. В. Бунэ, разд. 4.3 —Н. А. Верезуб, разд. 2.1, 6.3 и 6.4 — Г. С. Глушко, разд. 3.1 и 5.1—В. Л. Грязновым, разд. 3.2 — К. Г. Дубовиком, разд. 4.2 — С. А. Никитиным, разд. 4.1— А. И. Простомолотовым, разд. 1.2 и 6.2 —А. И. Федосеевым, разд. 3.3 —С. Г. Черкасовым. Разделы 2.2 и 6.5 написаны совместно А. В. Бунэ, Г. С. Глушко и М. К- Ермаковым, а разд. 6.1 — А. В. Бунэ, В. Л. Грязновым и А. И. Простомолотовым. Следует особо отметить, что важное значение в разработке систем графической визуализации и ускорения расчетов имело сотрудничество авторов монографии с инженерами—специалистами по электронной технике С. X. Гореликовым и В. А. Салтыковым и специалистами по программному обеспечению ЭВМ М. К. Ермаковым, А. А. Горбуновым и М. Н. Мякшиной. В заключение авторы считают своим приятным долгом поблагодарить академиков Г. И. Петрова и А. Ю. Ишлинского за внимание к работе, полезные советы и поддержку, профессора Л. А. Чудова за многочисленные обсуждения рассматриваемых в монографии вопросов, Р. Л. Шляго и сотрудников лаборатории вычислительных машин Института проблем механики АН СССР за большую помощь в проведении расчетов. Авторы выражают также благодарность члену-корреспонденту АН СССР Д. М. Климову и профессору В. М. Пасконову за полезные замечания при рецензировании книги.
ОГЛАВЛЕНИЕ От редактора ................... ^ Предисловие................... ^ Глава 1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИИ НАВЬЕ—СТОКСА........... 11 Введение. Математическая модель конвекции, тепло- и массообмена . 11 1.1. Метод конечных разностей............. 18 1.1.1. Общая структура основной конечно-разностной схемы . . 18 1.1.2. Сеточные аппроксимации уравнений вихря и переноса ... 21 1.1.3. Решение уравнения для функции тока......... 31 1.1.4. Аппроксимация граничных условий для вихря...... 35 1.1.5. Тесты конечно-разностных схем на нестационарных задачах 41 1.2. Метод конечных элементов............. 48 1.2.1. Подход к построению уравнений МКЭ и аппроксимация граничных условий.................. 49 1.2.2. Составление уравнений конечных элементов....... 53 1.2.3. Решение систем алгебраических уравнений МКЭ .... 55 1.2.4. Генерация конечно-элементной сетки......... 56 1.2.5. Уравнения Навье—Стокса в приближении Буссинеска ... 57 1.2.6. Тесты МКЭ — течение несжимаемой жидкости в полости с движущейся границей................. 61 1.2.7. Тесты тепловой конвекции в замкнутой области, подогреваемой сбоку.................... 62 Глава 2. УСКОРЕНИЕ РАСЧЕТОВ И ОБРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ РЕАЛИЗАЦИИ.................. 66 2.1. Конвейерная обработка данных. Применение матричного модуля ЭВМ ЕС-1055М в задачах конвективного тепло- и массообмена ..................... 67 2.1.1. Ускорение счета в конвейерных вычислителях...... 67 2.1.2. Общая характеристика матричного модуля ЭВМ ЕС-1055М . 72 2.1.3. Эффективность МАМО' в задачах тепло- и массообмена . . 76 2.2. Графическая обработка численных реализаций...... 81 2.2.1. Графическая система «Динамика»........... 82 2.2.2. Диалоговая проблемно-ориентированная графическая обработка численных реализаций............ 85 2.3. Статистическая обработка численных реализаций ... 87 Глава 3. ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В ЗАМКНУТЫХ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ И СОСУДАХ............. 93 3.1. Тепловая гравитационная конвекция в вертикальном слое 94 3.1.1. Математическая модель.............. 96 3.1.2. Структура и режимы течения........... 97 3.1.3. Зависимость суммарного потока тепла и других интегральных характеристик от чисел Рэлея, Прандтля и отношения сторон слоя...................... Ю1 3.1.4. Локальные характеристики конвекции......... 105 3.1.5. Нестационарные ламинарный и турбулентный режимы . 108 3.2. Капиллярная конвекция в плоских областях..... 112 3.2.1. Математическая модель............... ИЗ 3.2.2. Термокапиллярная конвекция в прямоугольных каналах . . 114 3.2.3. Взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекций................ 127 3.3. Тепловая гравитационная конвекция в вертикальных цилиндрических сосудах................. 132 3.3.1. Влияние конвекции на тепловой режим хранения жидкостей в сосудах..................... 132 3.3.2. Математическая модель и режимы тепловой гравитационной конвекции.................... 133 3.3.3. . Квазистационарный режим конвекции......... 137 3.3.4. Нестационарные режимы ламинарной конвекции..... 146 3.3.5. Переходные и турбулентные режимы конвекции в сосуде . . 151 Глава 4. ГИДРОМЕХАНИКА И ТЕПЛОМАССООБМЕН ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ КРИСТАЛЛОВ............. 156 4.1. Конвекция, тепло- и массообмен при выращивании кристаллов вытягиванием из расплава (метод Чохральского) .... 157 4.1.1. Математические модели и методы решения......159 4.1.2. Изотермические течения расплава н механизмы распределения примеси................... 162 4.1.3. Некоторые закономерности неизотермического течения н распределения примеси в расплаве........... 169 4.2. Влияние тепловой конвекции на распределение примеси при выращивании кристаллов методом направленной кристаллизации ..................... 175 4.2.1. Математическая модель процессов тепло- и массообмена при направленной кристаллизации ............ 176 4.2.2. Результаты параметрических исследований.......180 4.3. Конвекция, тепло- и массообмен в модели жидкостной эпи-таксии..................... 184 4.3.1. Математическая модель процесса жидкостной эпитаксни . . 185 4.3.2. Оценка численных значений критериев подобия для бинарных систем полупроводниковых материалов......... 189 4.3.3. Режимы 'движения при горизонтальном расположении подложек .................... 191 4.3.4. Зависимость геометрии слоев от расположения подложек 195 4.3.5. Особенности жидкостной эпитаксин в условиях невесомости 197 Глава 5. ЕСТЕСТВЕННО-КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ........... 198 5.1. Конвекция и слоистые структуры в стратифицированной жидкости ...................... 199 5.1.1. Постановка задачи и параметры расчетов........ 201 5.1.2. Развитие термоконцентрационной конвекции во времени и характерные пространственные структуры........203 5.1.3. Влияние теплового и концентрационного чисел Рэлея на образование и эволюцию слоистых структур....... 208 5.1.4. Режимы конвекции и вертикальный масштаб слоистой структуры ...................... 211 5.2. Конвекция и внутренние волны в приповерхностном слое жидкости.................... 213 5.2.1. Постановка задачи ............... 213 5.2.2. Перемешивание тяжелой и легкой жидкости после внезапного обрушения................... 215 5.2.3. Конвекция при охлаждении однородной жидкости .... 219 5.2.4.. Конвекция и внутренние волны при охлаждении стратифицированной жидкости................ 226 Глава 6. СПЕЦИАЛЬНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ . 231 6.1. Комплекс программ метода конечных разностей..... 232 6.1.1. Комплекс программ общего назначения........ 232 6.1.2. Комплекс программ моделирования гидродинамики, тепло- и массообмена при выращивании кристаллов методом Чохраль-ского..................... 235 6.2. Комплекс программ метода конечных элементов..... 237 6.2.1. Основные принципы реализации комплекса FEMINA . . . 237 6.2.2. Описание основных модулей комплекса........ 238 6.2.3. Работа с комплексом FEMINA на ЕС ЭВМ....... 240 6.3. Программная поддержка матричного модуля...... 242 6.4. Пакет программ статистической обработки численных реализаций...................... 246 6.5. Программы графической обработки.......... 248 6.5.1. Графическая система «Динамика»........... 248 6.5.2. Диалоговая проблемно-ориентированная графическая система «Буер»..................... 250 ЗАКЛЮЧЕНИЕ................. . 253 Литература.................... 256 |
Loading
|