За последние годы в иностранной математической литературе появилось много книг, посвященных так называемой общей топологии, т. е. в первую очередь теории топологических пространств. Книги эти — разного достоинства. Наилучшими среди них я считаю обширный двухтомный классический трактат К. Кура-товского «Топология» (выдержавший несколько изданий на различных языках и переведенный на русский язык несколько лет тому назад) и замечательную книгу польского математика Р. Энгелькинга, вышедшую параллельно на польском и английском языках соответственно под заглавиями «Zarys. topologii ogolnej» и «Outline of general topology». Неудивительно, что обе эти книги принадлежат перу польских математиков: общеизвестно, что польская математическая школа в течение более чем полустолетия занимает одно из самых передовых мест в теоретико-множественной топологии.

Советская топологическая школа в течение этого же полустолетия выдвинулась также на одно из первых мест, но в нашей книжной литературе это обстоятельство, можно сказать, совсем не отразилось: кроме уже упомянутого перевода трактата Куратовского и перевода знаменитой «Теории множеств» Хаусдор-фа (оригинал которой относится — в различных его изданиях — к 1914 и к 1927 гг.), мы имеем еще на русском языке перевод книги Келли (изданной в 1955 г., но устаревшей больше, чем упомянутые выше классические произведения) да еще написанное мною и изданное в 1948 г. совсем элементарное «Введение в общую теорию множеств и функций», не доходящее в топологической части даже до формулировки какой-либо общей метризационной теоремы. На фоне фактического отсутствия оригинальных русских книг по общей топологии даже новое издание «Мемуара о компактных топологических пространствах», написанного в 1922 г. П. С. Уры-соном и мною, явилось, вероятно, небесполезным пополнением нашего книжного фонда по данной области математики.

Книга, предлагаемая ныне вниманию математиков, интересующихся и занимающихся общей топологией, имеет заглавие «Общая топология в задачах и упражнениях» и принадлежит перу двух математиков молодого поколения, принадлежащих к числу наиболее выдающихся представителей советской математической школы в области теоретико-множественной топологии. Им принадлежат многие из самых замечательных результатов, полученных в теории топологических пространств за последние 10—15 лет. Достаточно сказать, что такая фундаментальная и совершенно новая глава топологии, какой является общая теория непрерывных отображений топологических пространств, в основном создана именно двумя авторами этой книги. Такие результаты, как теоремы В. И. Пономарева об абсолюте топологического пространства или о пространствах с первой аксиомой счетности как открытых образах метрических пространств, равно как теоремы Архангельского о введенных им так называемых перистых пространствах и вообще о связях между различными типами пространств,— связях, осуществляемых непрерывными отображениями тех или иных классов,— принадлежат бесспорно к основным и наиболее интересным достижениям общей топологии. Что же касается решения А. В. Архангельским вопроса о мощности всех бикомпактных хаусдорфовых пространств с первой аксиомой счетности, то это не только решение проблемы пятидесятилетней  давности,  но  и несомненно один из фундаментальных результатов всей теоретико-множественной математики.

Неудивительно, что авторы, столь далеко продвинувшие разрабатываемую ими область науки, в наилучшей степени могли отразить в своем общем труде и наиболее существенные стороны современного ее состояния, и наиболее яркие перспективы ее дальнейшего развития. Действительно, книга А. В. Архангельского и В. И. Пономарева вводит нас в самую глубину достижений и задач, волнующих нас сейчас в разрабатываемой ими, хотя и очень абстрактной, но от этого не менее увлекательной области математики. Именно эту увлекательность излагаемых ими вопросов они сумели показать, хотя избранный ими оригинальный {в последнее время, к сожалению, становящийся уже и модным) способ изложения —«в задачах и упражнениях»,— по моему мнению, не столько помогает им, сколько скорее затрудняет их в достижении поставленной цели. Тем не менее задача представить читателю увлекательную картину самого значительного ив того, чем живет общая топология именно сегодня, удачно решается в этой книге так, что не нахожу другого сочинения, которому в этом отношении можно было бы отдать предпочтение.

После сказанного выше читатель не удивится тому, что все сочинение кульминирует в общей теории непрерывных отображений, с одной стороны, и в теории так называемых кардинальных инвариантов (мощность, вес, так называемый я-вес, теснота, число Суслина и т. д.) — с другой. Эти вопросы и многочисленные с ними связанные не только наиболее близки интересам самих авторов, но и объективно в самые последние годы выдвинулись в общей топологии на первый план. Но и другие основные направления теории топологических пространств не остались в тени. Такова проблема метризации, получившая за последние десятилетия неожиданное новое развитие, в значительной степени связанное именно с общей теорией непрерывных отображений и в свою очередь тесно связанное с понятием паракомпактности, его усилениями и ослаблениями. Такова теория бикомпактных расширений и в не меньшей степени теория диадических бикомпактов. Книга не осталась в стороне и от связей с аксиоматикой абстрактной теории множеств, которые так ярко выявились в общей топологии за последние годы.

В мои задачи не входит даже конспективное изложение содержания книги. Читатель найдет его в оглавлении. Подводя итог сказанному, хочется только повторить, что сочинение А. В. Архангельского и В. И. Пономарева вводит читателя именно в современные вопросы общей топологии и притом не случайно выбранные, а отобранные действительными знатоками дела.

Книга в высшей степени приспособлена для того, чтобы направить читателя на собственные исследования, давая ему, кроме того, и хорошую школу активной работы над математической книгой. Я не сомневаюсь, что эта книга найдет успех среди читателей, для которых она предназначена, и сослужит этим читателям большую службу, сделав многих самых молодых среди них настоящими математиками — независимо от того, будут ли они дальше заниматься непременно общей топологией или какой-нибудь другой частью математической науки.