Задания B9, B10, C1, C2, C3, C4, C5, C6 из пособия ЕГЭ-2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 10 вариантов, Издательство: АСТ, 2011 г., ISBN: 978-5-491-00070-8

TEV10.2012.B9.1 В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS. Ответ: 9
TEV10.2012.B9.2 В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке О. Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS. Ответ: 2
TEV10.2012.B9.3 Высота конуса равна 15, а диаметр основания — 16. Найдите образующую конуса. Ответ: 17
TEV10.2012.B9.4 В правильной четырехугольной пирамиде SABC точка О — центр основания, S — вершина, SD = 10, SO = 6. Найдите длину отрезка АС. Ответ: 16
TEV10.2012.B9.5 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 6; CC1 = 2; AD = sqrt(7). Найдите длину ребра D1C1. Ответ: 5
TEV10.2012.B9.6 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21pi , а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3
TEV10.2012.B9.7 Высота конуса равна 12, а диаметр основания - 10. Найдите образующую конуса. Ответ: 13
TEV10.2012.B9.8 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1 = 5; CC1 = 3; В1С1 = sqrt(7). Найдите длину ребра АВ. Ответ: 3
TEV10.2012.B9.9 В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что ВС = 6, a SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 45
TEV10.2012.B9.10 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14pi , а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 7

TEV10.2012.B10.1 На экзамене 60 билетов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ: 0.95
TEV10.2012.B10.2 На экзамене 40 билетов, Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Ответ: 0.85
TEV10.2012.B10.3 Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырем каналам из шестнадцати показывают музыкальные клипы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут. Ответ: 0.75
TEV10.2012.B10.4 В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Ответ: 0.2
TEV10.2012.B10.5 Андрей с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок, из них 9 — белые, 5 — фиолетовые, остальные — оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Андрей прокатится в оранжевой кабинке. Ответ: 0.3
TEV10.2012.B10.6 Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным. Ответ: 0.6
TEV10.2012.B10.7 Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет. Ответ: 0.6
TEV10.2012.B10.8 Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 11 — синие, 7 — зеленые, остальные — оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке. Ответ: 0.4
TEV10.2012.B10.9 На тарелке 16 пирожков: 8 с мясом, 3 с яблоками и 5 с луком. Настя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с мясом. Ответ: 0.5
TEV10.2012.B10.10 Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 15 с персонажами мультфильмов и 15 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем из мультфильма. Ответ: 0.5

TEV10.2012.C1.1 Решите уравнение `3sin2x - 4cosx + 3sinx-2 = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[pi//2; 3pi//2]`. 
TEV10.2012.C1.2 Решите уравнение `2sin2x + cosx + 4sinx + 1 = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[5pi//2; 7pi//2]`. 
TEV10.2012.C1.3 Решите уравнение `3sin^2x + 5sinxcosx + 2cos^2x = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[3pi; 2pi]`. 
TEV10.2012.C1.4 Решите уравнение `2cos^2x - 3sinx - 4 = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[9pi//2; 11pi//2]`. 
TEV10.2012.C1.5 Решите уравнение `6/(tg^2 x) + 5/(tg x) - 1 = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[-pi; pi//2]`.
TEV10.2012.C1.6 Решите уравнение `cos 2x - cos x = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[0; 5pi//2]`.
TEV10.2012.C1.7 Решите уравнение `5sin^2x - 4sinxcosx - cos^2x = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[-3pi//2; 0]`. 
TEV10.2012.C1.8 Решите уравнение `1/(tg^2 x) - 2/(tg x) - 3 = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[2pi; 7pi//2]`.
TEV10.2012.C1.9 Решите уравнение `(6sin^2x+13sinx+5)*sqrt(11cosx) = 0`. 
TEV10.2012.C1.10 Решите уравнение `cos 2x - sin x = 0`. Укажите корни, принадлежащие отрезку `[0; 5pi//2]`.

TEV10.2012.C2.1 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой E1F1. Ответ: 2
TEV10.2012.C2.2 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой A1D1. Ответ: sqrt(7)/2
TEV10.2012.C2.3 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = 21sqrt(3), SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. Ответ: arctg (10/21)
TEV10.2012.C2.4 В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между плоскостями BDD1 и AB1D1. Ответ: 1/sqrt(2)
TEV10.2012.C2.5 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABG и CDF, где F — середина ребра SB, G — середина ребра SC. Ответ: 7/11
TEV10.2012.C2.6 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD. Ответ: `60^@`
TEV10.2012.C2.7 В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = 15sqrt(3), SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. Ответ: arctg (4/15)
TEV10.2012.C2.8 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD. Ответ: sqrt(2/3)
TEV10.2012.C2.9 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки А до прямой C1D1. Ответ: 4
TEV10.2012.C2.10 В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE, где М — середина ребра SC. Ответ: 1

TEV10.2012.C3.1 Решите систему неравенств `{(log_{log_x 2x} (5x-2) ge 0),(15^x-9*5^x-3^x+9 le 0):}`
Ответ: (0.4; 0.5), (1; 2]
TEV10.2012.C3.2 Решите систему неравенств `{(log_{log_x 3x} (4x-1) ge 0),(21^x-9*7^x-3^x+9 le 0):}`
Ответ: (1/4; 1/3), (1; 2]
TEV10.2012.C3.3 Решите неравенство `log_3 ((7^{-x^2} - 4)(7^{-x^2+9} - 1)) +` `log_3 (7^{-x^2} - 4)/(7^{-x^2+9} - 1) > log_3 (7^{6-x^2}-3)^2`.
Ответ: (-oo; -3), (3, +oo)
TEV10.2012.C3.4 Решите систему неравенств `{(4^x+(1/4)^x gt 2),(3^{x^2} le 9*3^{-x}):}`.
Ответ: [-2; 0), (0; 1]
TEV10.2012.C3.5 Решите неравенство `4log_x 4 - 3log_{4x} 4 + 4log_{x//16} 4 ge 0`.
Ответ: [1/16; 1/4), (1; 4^(4/5)), (16; +oo)
TEV10.2012.C3.6 Решите систему неравенств `{(log_2 (100-x^2) le 2 + log_2 (x+1)),(log_{0.3} (2|x+5|+|x-11|-30) lt 1):}`.
Ответ: (9.3; 10)
TEV10.2012.C3.7 Решите неравенство `log_7 ((3^{-x^2} - 3)(3^{-x^2+16} - 1)) +` `log_7 (3^{-x^2} - 4)/(3^{-x^2+16} - 1) > log_7 (3^{13-x^2}-2)^2`.
Ответ: (-oo; -4), (4; +oo)
TEV10.2012.C3.8 Решите неравенство `log_x 3 + 2log_{3x} 3 - 6log_{9x} 3 le 0`.
Ответ: (1/9; 1/3), [3^(2/3); 1), [3; +oo)
TEV10.2012.C3.9 Решите неравенство `11log_13(x^2-4x-5) le 12 + log_13 ((x+1)^11)/(x-5)`.
Ответ: [-8;-1), (5;18]
TEV10.2012.C3.10 Решите систему неравенств `{(log_4 (25-x^2) le 2 + log_4 (x+4)),(log_{0.4} (2|x+4|+|x-6|-18) lt 1):}`.
Ответ: 4.4; 5

TEV10.2012.C4.1 Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 24 и BD = 10. Проведена окружность радиусом `(5sqrt(2))/2` с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ. Ответ: 91/17; 221/7
TEV10.2012.C4.2 Дан ромб ABCD с диагоналями АС = 30 и BD= 16. Проведена окружность радиусом `4sqrt(2)` с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину В, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке М. Найдите СМ. Ответ: 119/23; 391/7
TEV10.2012.C4.3 В треугольнике ABC АВ = 7, ВС = 6, СА = 3. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 1 : 7. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. Ответ: 5; 17/8
TEV10.2012.C4.4 Основание равнобедренного треугольника равно 36, косинус угла при вершине равен 12/13. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой. Ответ: 450; 800
TEV10.2012.C4.5 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 32, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 15. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Ответ: 240; 32
TEV10.2012.C4.6 Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины С на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S. Ответ: 4; 24
TEV10.2012.C4.7 В треугольнике ABC АВ = 9, ВС = 10, СА = 5. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD : DC = 3 : 5. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF. Ответ: 13/4; 7
TEV10.2012.C4.8 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Ответ: 36; 9
TEV10.2012.C4.9 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно 5/12. Ответ: 20; 14.4
TEV10.2012.C4.10 Окружность S проходит через вершину С прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины С на расстояния 16 и 30. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S. Ответ: 12; 80

TEV10.2012.C5.1 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f(x) = |2a + 5|x имеет 6 решений, где f — четная периодическая функция с периодом T = 2, определенная на всей числовой прямой, причем `f(x) = ax^2`, если `0 le x le 1`.
Ответ: -25/11; -25/9
TEV10.2012.C5.2 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f(x) = |3^a - 3|sqrt(x) имеет 6 решений, где f — нечетная периодическая функция с периодом T = 4, определенная на всей числовой прямой, причем `f(x) = 4.5a^2((x-1)-1)^2`, если `0 le x le 2`.
Ответ: 2
TEV10.2012.C5.3 Найдите наибольшее значение параметра а, при котором система неравенств
`{(sqrt((x+5+2a)^2+(-y+1+a)^2) le (|a^2-a-1|)/(sqrt(5))),(x+2y ge -2):}`
имеет единственное решение.
Ответ: 2
TEV10.2012.C5.4 Найдите все значения а, при каждом из которых функция `f(x) = x^2 - 4|x - a^2| - 8x` имеет хотя бы одну точку максимума.
Ответ: (-sqrt(6); -sqrt(2)), (sqrt(2); sqrt(6))
TEV10.2012.C5.5 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств
`{((-x-y+log_2 a)^2+(-x+y-log_2 a)^2 le (log_2 a - 1)^2),((-x-y-2log_2 a)^2+(-x+y+3log_2 a)^2 le (1 - log_2 (8a))^2):}`
имеет единственное решение.
Ответ: `(root 5 (8)) ^ (pm 1)`
TEV10.2012.C5.6 Найти все пары (х,у), `x le 0`, `y ge 0`, удовлетворяющие системе
`{(2/(f(x)-3)+10/(f(y)-2)=12),((f(y)-2)(f(x)-3)=f(y)-2):}`
где f — периодическая функция с периодом T = 2, определенная на всей числовой прямой, причем f(x) = 4|x| при `-1 le x le 1`.
Ответ: (-1-2k; 3/4+2n), (-1-2k; 5/4+2n); k=0,1,2,...; n=0,1,2,...
TEV10.2012.C5.7 Найдите наименьшее целочисленное значение параметра а, при котором система неравенств
`{(sqrt((11-x-3a)^2+(y-4a+4)^2) le (|a-1|)/5),(4x+3y ge -12):}`
не имеет решений.
Ответ: -42
TEV10.2012.C5.8 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
`{(x^2 + y^2 -1 le -a^2 + 2a(x - y + 1)),(x^2 + y^2 - 1 le 3a^2 - 2a(2x - 3y + 4) + 1):}`
имеет единственное решение.
Ответ: (-oo; -1] U [1/4; +oo)
TEV10.2012.C5.9 Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
`{((|x|-5)^2+(y-3)^2=4),((x+1)^2+y^2=a^2):}`
имеет три решения.
Ответ: 7; sqrt(45)-2
TEV10.2012.C5.10 Найти все пары (х,у), `x ge 0`, `y ge 0`, удовлетворяющие системе
`{(5/(f(x)-3)+3/(f(2x+3y)-2)=6),((f(2x+3y)-2)(f(x)-3)=3f(x)-9):}`
где f — периодическая функция с периодом T = 2, определенная на всей числовой прямой, причем f(x) = 5|x| при `-1 le x lt 1`.
Ответ: (0.6+2l; -1/15+2/3(n-2l)), (-0.6+2m; 11/15+2/3(n-2m)); l = 0,1,2,...; m = 1,2,...; n-2l = 1,2,...; n-2m = 1,2,...

TEV10.2012.C6.1 Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел `a_n`. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение `a_3`.
Ответ: 3
TEV10.2012.C6.2 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 867
TEV10.2012.C6.3 Перед каждым из чисел 4, 5, ... 9 и 11, 12, ... 17 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 42 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Ответ: 1 и 861
TEV10.2012.C6.4 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7424.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 989
TEV10.2012.C6.5 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6075.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 867
TEV10.2012.C6.6 Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны все целые неотрицательные степени некоторого однозначного натурального числа р. В результате получается рациональное число. Найдите это число.
Ответ: 1/9
TEV10.2012.C6.7 Перед каждым из чисел 4, 5, ... 10 и 10, 11, ... 18 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 63 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Ответ: 1 и 1323
TEV10.2012.C6.8 Ученик должен был перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в три раза больше истинного. Найдите все три числа.
Ответ: 167, 334 и 27889 или 167, 334 и 55778
TEV10.2012.C6.9 На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -12.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 48; б) отрицательных; в) 12
TEV10.2012.C6.10 Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 15 раз больше, либо в 15 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 8959.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трех членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Ответ: а) нет; б) да; в) 1119