Автоморфная функция (от авто... и греческого morphē - вид) (матем.), аналитическая функция, значения которой не изменяются, если её аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К А.ф. относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции. Так, например, если указанные преобразования - целые и имеют вид: z’ = z + w, где w - комплексное число, отличное от нуля, то получаются А.ф. , характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z’ = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г - некоторая группа дробно линейных преобразований;
и
G - область, которая каждым из этих
преобразований отражается сама на себя.
Тогда функция f, однозначная и аналитическая
в области G, является А.ф. (по отношению
к данной группе Г), если f [Tk (z)] = f (z), (k =
1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть
круг или полуплоскость. Такую область
можно рассматривать как изображение
плоскости Лобачевского, а преобразования группы Г
- как движения в плоскости Лобачевского.
Соответствующие А.ф. можно рассматривать
как такое обобщение периодических
функций, при котором сдвиги в евклидовой
плоскости заменены движениями в плоскости
Лобачевского. Эта точка зрения, развитая
А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении
общей теории А.ф. (до А. Пуанкаре
существенные результаты теории А.ф.
получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория
А.ф. , в её современном состоянии,
представляет замечательный пример
плодотворности геометрических идей Н.
И. Лобачевского в их применении к задачам
математического анализа и теории
функций.
К общим А.ф. , помимо вопросов
конформного отображения, приводит также
теория линейных дифференциальных
уравнений, изучение алгебр, кривых
порядка выше четвёртого, решение
алгебраических уравнений (например,
решение общего уравнения пятой степени
с одним неизвестным получается посредством
А.ф.) и т. д.