Автоморфная функция

Автоморфная функция (от авто... и греческого morphē - вид) (матем.), аналитическая функция, значения которой не изменяются, если её аргумент подвергается некоторым дробно линейным преобразованиям. К А.ф. относятся периодические функции и, в частности, эллиптические функции. Так, например, если указанные преобразования - целые и имеют вид: z’ = z + w, где w - комплексное число, отличное от нуля, то получаются А.ф. , характеризуемые уравнением f (z + w) = f (z), т. е. периодические функции с периодом w. В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости на вектор w. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз, также не изменяет функции. В результате получается группа линейных преобразований z’ = z + nw (n = 0, ±1, ±2,...), не изменяющих f (z). В общем случае пусть Г - некоторая группа дробно линейных преобразований;

и G - область, которая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А.ф. (по отношению к данной группе Г), если f [Tk (z)] = f (z), (k = 1, 2...). Наиболее важен случай, когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать как изображение плоскости Лобачевского, а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского. Соответствующие А.ф. можно рассматривать как такое обобщение периодических функций, при котором сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила успех в построении общей теории А.ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты теории А.ф. получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А.ф. , в её современном состоянии, представляет замечательный пример плодотворности геометрических идей Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математического анализа и теории функций.
К общим А.ф. , помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых порядка выше четвёртого, решение алгебраических уравнений (например, решение общего уравнения пятой степени с одним неизвестным получается посредством А.ф.) и т. д.