Аксиоматика Гильберта, система
аксиом евклидовой геометрии.
Разработана Гильбертом как более
полная, нежели система аксиом Евклида.
Неопределяемыми в этой системе аксиом
понятиями являются: точка, прямая
линия, плоскость. Есть также 3
элементарных бинарных отношения:
Лежать между, применимо к точкам;
Содержать, применимо к точкам и прямым,
точкам и плоскостям или прямым и
плоскостям;
Конгруэнтность (геометрическое
равенство), применимо, например,
к отрезкам, углам или треугольникам,
и обозначается инфиксным символом ≅.
Все точки, прямые и плоскости
предполагаются различными, если не
оговорено особое.
Система из 20 аксиом поделена на 5 групп:
аксиомы принадлежности:
планиметрические:
Каковы бы ни были две точки A и B,
существует прямая a, которой принадлежат
эти точки.
Каковы бы ни были две различные точки
A и B, существует не более одной прямой,
которой принадлежат эти точки.
Каждой прямой a принадлежат по крайней
мере две точки. Существуют по крайней
мере три точки, не принадлежащие одной
прямой.
стереометрические:
Каковы бы ни были три точки A, B и C, не
принадлежащие одной прямой, существует
плоскость α, которой принадлежат эти
три точки. Каждой плоскости принадлежит
хотя бы одна точка.
Каковы бы ни были три точки A, B и C, не
принадлежащие одной прямой, существует
не более одной плоскости, которой
принадлежат эти точки.
Если две принадлежащие прямой a
различные точки A и B принадлежат
некоторой плоскости α, то каждая
принадлежащая прямой a точка принадлежит
указанной плоскости.
Если существует одна точка A, принадлежащая
двум плоскостям α и β, то существует
по крайней мере ещё одна точка B,
принадлежащая обеим этим плоскостям.
Существуют по крайней мере четыре
точки, не принадлежащие одной плоскости.
аксиомы порядка:
линейные:
Если точка B прямой а лежит между
точками А и С той же прямой, то А, В и
С — различные точки указанной
прямой, причем В лежит также и между
С и А.
Каковы бы ни были две различные точки
А и С, на определяемой ими прямой
существует по крайней мере одна точка
В такая, что С лежит между А и В.
Среди любых трёх точек, лежащих на
одной прямой, существует не более
одной точки, лежащей между двумя
другими.
Аксиома Паша
аксиомы конгруэнтности:
конгруэнтность отрезков:
Если А и В — две точки на прямой а,
А’ — точка на той же прямой или на
другой прямой а’, то по данную от точки
А’ сторону прямой а’ найдется, и
притом только одна, точка В’ такая,
что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку
АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен
отрезку ВА.1
Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны
одному и тому же отрезку АВ, то они
конгруэнтны и между собой.
Пусть АВ и ВС — два отрезка прямой
а, не имеющие общих внутренних точек,
А’B’ и B’C’ — два отрезка той же
прямой, или другой прямой а’, также
не имеющие общих внутренних точек.
Тогда если отрезок АВ конгруэнтен
отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен
отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен
отрезку А’C’.
конгруэнтность углов:
Если даны угол ∠ABC и луч B’C', лежащий
в плоскости данного угла, тогда
существует ровно два луча, также
лежащие в плоскости данного угла, B’D
и B’E, такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅
∠ABC.
Следствие. Каждый угол
конгруэнтен сам себе.
Треугольники ΔABC ≅ ΔA’B’C', если AB ≅
A’B', AC ≅ A’C', и ∠BAC ≅ ∠B’A’C'.
аксиомы непрерывности
Аксиома Архимеда. Если даны отрезок
CD и луч AB, то существует число n и n точек
A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, ,
и B лежит между A1 and An.
«Полнота линии». Добавление хотя бы
одной дополнительной точки в прямую
линию вызовет противоречие с одной
из аксиом принадлежности, порядка,
первыми двумя аксиомами конгруэнтности
или аксиомой Архимеда.
аксиома параллельности,
для которой Гильберт выбрал
не евклидовскую формулировку, а
эквивалентную ей, но более простую
аксиому Прокла:
Пусть a есть произвольная прямая
и A — точка вне её; тогда в
плоскости, определяемой точкой А и
прямой а, можно провести не более
одной прямой, проходящей через A и
не пересекающей a.
Гильберт изначально (1899) включил 21-ю
аксиому:
«Любым четырём точкам на прямой можно
присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка
B лежала между точками A и C, а также между
A и D; точка C — между A и D, а также между
B и D».
Э.Х. Мур (англ.) доказал в 1902 году,
что эта аксиома избыточна.
Аксиоматическая схема евклидовой
геометрии была опубликована Давидом
Гильбертом в 1899 году в праздничном томе
«Festsehrift», посвящённом открытию в
Гёттингене памятника Карлу Фридриху
Гауссу и его другу физику Вильгельму
Веберу. Ныне «Основания геометрии»
изданы на многих языках мира, одно из
двух изданий на русском языке указано
внизу в ссылках.
Создатели догильбертовских систем:
Евклид
Паш
Шур
Пеано (включает понятие «движение»)
Веронезе
М. Пиери (1899)
Родственные гильбертовой:
В. Ф. Каган (1902)
О. Веблен (1904)
А. Колмогоров
Более современые аксиоматики:
аксиоматика Тарского
аксиоматика Биргофа — содержит
«аксиому линейки» и «аксиому транспортира».
Её варианты используются в большинстве
американских школьных учебников, к ней
близка аксиоматикаПогорелова.
Аксиоматика Вейля — оперирует
неопределяемыми понятиями точки и
свободного вектора. Прямая и плоскость
определяются как множества точек.