Алгебра 1

к началу

Таким образом, уравнение n-й степени имеет n «корней». В частных случаях может оказаться, что некоторые из множителей равны, т. е. некоторые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше n. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное еще Декартом «правило знаков»: уравнение имеет не больше положительных корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Например, в рассмотренном выше уравнении x5 - 4x - 2 = 0 одна перемена знака (первый коэффициент — положительный, остальные — отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом. Очень важно, что y уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и a - bi. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения обладают этим свойством.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с n неизвестными:

a11x1+...+a1nxn = b1,

a21x1+...+a2nxn = b2,

...............................

am1x1+...+amnxn = bm.

Здесь x1..., xn — неизвестные, а коэффициенты записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они — простейшие. На практике (например, для отыскания поправок в астрономических вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях н т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов aik и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить т. н. определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки — линейной алгебры.

(По материалам статьи А.Г. Куроша и О. Ю. Шмидта из 2-го изд. БСЭ).

Современное состояние алгебры

Сфера приложений математики расширяется с течением времени, и темп этого расширения возрастает. Если в 18 в. математика стала основой механики и астрономии, то уже в 19 в. она стала необходимой для различных областей физики, а ныне математические методы проникают даже в такие, казалось бы далекие от математики области знания, как биология, лингвистика, социология и т.д. Каждая новая область приложений влечёт создание новых глав внутри самой математики. Эта тенденция привела к возникновению значительного числа отдельных математических дисциплин, различающихся по областям исследования (теория функций комплексного переменного, теория вероятностей, теория уравнений математической физики и т. д.; более новые — теория информации, теория автоматического управления и т. д.). Несмотря на такую дифференциацию, математика остаётся единой наукой. Это единство сохраняется благодаря развитию и совершенствованию ряда общих, объединяющих идей и точек зрения. Тенденция к объединению лежит в существе математики как науки, пользующейся методом абстракции и, кроме того, часто стимулируется тем, что при исследовании задач, возникающих в различных областях знания, приходится пользоваться одним и тем же математическим аппаратом.

Современная А., понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Эту роль А. разделяет с топологией, в которой изучаются наиболее общие свойства непрерывных протяжённостей. А. и топология оказались, несмотря на различие объектов исследования, настолько связанными, что между ними трудно провести чёткую границу. Для современной А. характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Попытаемся объяснить на простом примере, как это происходит. Всем известна формула (a+ b)2= а2 + 2аb + b2. Её выводом является цепочка равенств: (а + b)2= (a + b)(а + b) = (a + b)a + (а + b) b = (a2 + ba) + (ab + b2) = a2 + (ba + ab)+ b2 = a2 + 2ab + b2. Для обоснования мы дважды пользуемся законом дистрибутивности:. с(а + b) = ca + cb (роль с играет а + b) и (a + b) с = ac + bc (роль с играют а и b), закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец используется закон коммутативности: ba = ab. Что представляют собой объекты, закодированные буквами а и b, остаётся безразличным; важно, чтобы они принадлежали системе объектов, в которой определены две операции — сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Поэтому формула останется верной, если а и b обозначают векторы на плоскости или в пространстве, сложение принимается сперва как векторное сложение, потом как сложение чисел, умножение — как скалярное умножение векторов. Вместо а и b можно подставить коммутирующие матрицы (т. е. такие, что ab = ba, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и т. д.

Свойства операций над математическими объектами в разных ситуациях иногда оказываются совершенно различными, иногда одинаковыми, несмотря на различие объектов. Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, мы приходим к понятию множества, наделённого алгебраической структурой, или алгебраической системы. Потребности развития науки вызвали к жизни целый ряд содержательных алгебраических систем: группы, линейные пространства, поля, кольца и т.д. Предметом современной А. в основном является исследование сложившихся алгебраических систем, а также исследование свойств алгебраических систем вообще, на основе ещё более общих понятий (Q-алгебры, модели). Кроме этого направления, носящего название общей А., изучаются применения алгебраических методов к др. разделам математики за её пределами (топология, функциональный анализ, теория чисел, алгебраическая геометрия, вычислительная математика, теоретическая физика, кристаллография и т. д.).

Наиболее важными алгебраическими системами с одной операцией являются группы. Операция в группе ассоциативна [т. е. верно (a * b) * с = а * (b * с) при любых а, b, с из группы; звёздочкой * обозначена операция, которая в разных ситуациях может иметь разные названия] и однозначно обратима, т.е. для любых а и b из группы найдутся единственные х, у, такие, что а * х = b, у * а = b. Примерами групп могут служить: совокупность всех целых чисел относительно сложения, совокупность всех рациональных (целых и дробных) положительных чисел относительно умножения. В этих примерах операция (сложение в первом, умножение во втором) перестановочна. Такие группы называют абелевыми. Совокупности движений, совмещающих данную фигуру или тело с собой, образуют группу, если в качестве операции взять последовательное осуществление двух движений. Такие группы (группы симметрии фигуры) могут быть неабелевыми. Движения, совмещающие с собой атомную решётку кристалла, образуют т. н. федоровские группы, играющие основную роль в кристаллографии и через нее в физике твёрдого тела. Группы могут быть конечными (группы симметрии куба) и бесконечными (группы целых чисел по сложению), дискретными (тот же пример) и непрерывными (группа вращений сферы). Теория групп стала разветвленной, богатой содержанием математической теорией, имеющей обширную область приложений. Не менее богатой приложениями является линейная А., изучающая линейные пространства. Под этим названием понимаются алгебраические системы с двумя операциями — сложением и умножением на числа (действительные или комплексные). Относительно сложения объекты (называемые векторами) образуют абелеву группу, операция умножения удовлетворяет естественным требованиям:

а (х + у) = ax + ау, (а + b) х = ax + bx, 1×x = х, a(bx) = ab(x);

здесь а и b обозначают числа, х и у — векторы. Множества векторов (в обычном понимании) на плоскости и в пространстве образуют линейные пространства в смысле данного определения. Однако задачи, стоящие перед математикой, заставляют рассматривать многомерные и даже бесконечномерные линейные пространства. Последние (их элементами чаще всего являются функции) составляют предмет изучения функционального анализа. Идеи и методы линейной А. применяются в большинстве разделов математики, начиная с аналитической геометрии и теории систем линейных уравнений. Теория матриц и определителей составляет вычислительный аппарат линейной А. 

Лит.: История алгебры. Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, 2 изд., М., 1967; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.

Классики науки. Декарт P., Геометрия, пер. с латин., М. — Л., 1938; Ньютон И., Всеобщая арифметика, или книга об арифметических синтезе и анализе, пер. с лат., М., 1948; Эйлер Л., Универсальная арифметика, пер. с нем., т. 1 — 2, СПБ. 1768 — 69; Лобачевский Н. И., Полное собрание сочинений, т. 4 — Сочинения по алгебре, М. — Л., 1948: Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М. — Л., 1936.

Университетские курсы. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968: Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 3 изд., М. , 1966: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М. — Л., 1948.

Монографии по общим вопросам алгебры. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1 — 2, М. — Л., 1947; Бурбаки Н., Алгебра, пер. с франц., [гл. 1 — 9], М., 1962 — 66; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, М., 1962.

Монографии по специальным разделам алгебры. Шмидт О., Абстрактная теория групп, 2 изд., М. — Л., 1933; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 2 изд., М., 1954; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 — 2, М. — Л., 1934 — 37; Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947.

Алгебра — один из больших разделов мате­матики, принадлежащий, наряду с арифме­тикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались посте­пенно, начиная с древности. А. возникла под пря­мым влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти за­ключаются, обычно, в составлении и решении уран-пений. В соответствии с этим А. долго восприни­малась в первую очередь как наука об уравнениях. Вопрос о возможности решения данного уравнения (или уравнений), методы разыскания всех возмож­ных решений (всех корней уравнения), различные вопросы, относящиеся к свойствам корней урав­нений,— всё это на протяжении многих столетни составляло основное содержание А.

Задачи решения и исследования уравнений ока­зали большое влияние на развитие первоначаль­ного арифметич. понятия числа. С возникнове­нием отрицательных,иррациональных, комплексных чисел общее исследование свойств этих различных числовых систем тоже отошло к А. Таким обра­зом, А. отграничилась от арифметики: А. изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свой­ства числовых систем и общие методы решения задач нри помощи уравнений; арифметика зани­мается приёмами вычислений с конкретно задан­ными числами, а в своих более высоких областях—более топкими индивидуальными свойствами чисел, начиная с разложения чисел на простые сомножители.

С другой стороны, развитие А., её методов и сим­волики оказало очень большое влияние на разви­тие новых областей математики, подготовив, в част­ности, появление анализа. Тесная связь А. с анализом находит своё отражение в том, что до настоящего времени эле­менты анализа (понятие функции, изучение показа­тельной и логарифмич. функции, теория пределов) в сродней школе изучаются в курсе А. Линия раз­дела между А. и математич. анализом проводится так, что к чистой А., в строгом смысле слова, отно­сятся лишь вопросы, не требующие рассмотрения бе­сконечных, предельных процессов. Таким образом, А. противополагается анализу как наука о дискрет­ном, коночном. Хотя это противоположение и не имеет (как можно видеть и из дальнейшего со­держания этой статьи) абсолютного характера, его всё же можно рассматривать как завершение формирования классической А.

Аппарат классической А. содержал в себе, однако, в скрытой форме возможности значительно более широкого применения. Его применение возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться при этом и но над числами, а над объектами самой различной при­роды. Наиболее известным примером такого расши­ренного применения алгебраич. методов является векторная А. Векторы можно складывать, умножать на числа и множить друг на друга двумя различными способами. Свой­ства этих операций над векторами во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел, но в неко­торых отношениях отличаются от этих последних. Например, векторное произведение двух векторов А и В не коммутативно, т. е. вектор С=[АВ] может не равняться вектору D=[BA~\; наоборот, в вектор­ном исчислении действует правило: [АВ]=—[jS^TJ.

Следом за векторной А. возникла А. тензоров, ставших одним из основ­ных вспомогательных средств современной физики. В пределах самой классической А. возникла А. мат­риц. Обобщающая алгебру матриц А. операторов  тоже пре­вратилась в самостоятельную ветвь математики, имеющую большое значение в физике и технике.

Таким образом, А. в более широком, современном понимании может быть определена как паука о системах объектов той или иной природы, в к-рых установлены операции, по своим свойствам более или менее сходные со сложением и умножением чисел. Такие операции называются алгебраически­ми. А. классифицирует системы с заданными на них алгебраич. операциями по их свойствам  и изучает различные задачи, возникающие естественно в этих системах, включая и задачу решения и иссле­дования уравнений, к-рая в новых системах объек­тов получает новый смысл (решением уравнения мо­жет быть вектор, матрица, оператор и т. д.). Этот новый взгляд на А., вполне оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраич. методов, в том числе и за пределами математики, в частности в фи­зике. Вместе с тем он укрепил связи А. с другими отделами математики и весьма усилил влияние А. на их дальнейшее развитие.

продолжение