Алгебра 2

к началу

Алгебре предшествовала арифметика, как собрание постепенно накоп­ленных практических правил для решения повсе­дневных житейских задач. Эти правила арифметики сводились к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел, вначале только целых, а затем — в постепенном и очень медленном развитии — и дробных. Характерное отличие А. от арифметики заключается в том, что в А. вводится неизвестная ве­личина; действия над нею, диктуемые условием за­дачи, приводят к уравнению, из к-рого уже находит­ся сама неизвестная. Намёк на такую трактовку арифметич. задач ость уже в древнеегипетском па­пирусе Ахмеса (1700-—2000 до н. э.), где искомая величина называется словом «куча» и обозначается соответственным знаком — иероглифом.

Древние египтяне решали и гораздо более слож­ные задачи (напр. на арифметич. н геометрии, про­грессии). Как формулировка задачи, так и решение давались в словесной форме и только в виде кон­кретных численных примеров. И всё же за этими примерами чувствуется наличие накопленных об­щих методов, если не но форме, то по существу рав­носильных решению уравнений i-й и иногда 2-й степени. Имеются и первые математич. знаки (напр. особый знак для дробей).

В начале 20 в. были расшифрованы многочислен­ные математич. тексты (клинописи) и другой из древнейших культур) — вавилонской. Это открыло миру высоту математич. культуры, существовавшей уже за 4.000 лет до наших дней. Вавилоняне с по­мощью обширных специальных таблиц умели ре­шать разнообразные задачи; нек-рыо из них рав­носильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнения 3-й степени. Среди учёных, разрабатывающих историю математики, возник горячий спор о том, в какой мере математику вави­лонян можно считать А. Нельзя, однако, забывать, что древняя математика едина. Разделение прои­зошло гораздо позднее.

В Древней Греции была отчётливо выделена гео­метрия. У греческих геометров впервые сознатель­но поставлено исследование, каждый шаг к-рого оправдан логическим доказательством. Мощь этого метода была так велика, что и чисто арифметич. или алгебраич. вопросы переводились на язык геомет­рии: величины трактовались как длины, произве­дение двух величин — как площадь прямоугольни­ка ит. д. И в современном математич. языке сохрани­лось название «квадрат» для произведения величины на самоё себя. Характерное для более древних куль­тур единство научных знаний и практич. приложе­ний было в греческой математике разорвано: геомет­рию считали логической дисциплиной, необходимой школой для философского ума, а всякого рода исчис­ления, т. е. вопросы арифметики и А., идеалистич. философия Платона не считала достойным предме­том науки. Несомненно, эти отрасли также продол­жали развиваться (на основе вавилонских и египет­ских традиций), но до нашего времени дошёл только трактат Диофанта  Александрийского «Арифме­тика», в ь-ром он уже довольно свободно оперируете уравнениями 1-й и 2-й степени; в зачаточной форме у него можно найти употребление отрицательных чисел.

Наследие греческой науки восприняли учёные средневекового Востока — Средней Азии, Месо­потамии, Северной Африки. Международным науч­ным языком служил для них арабский язык (подобно тому, как для учёных средневекового Запада таким языком был латинский), поэтому этот период в ис­тории математики иногда называют «арабским». В действительности, однако, одним из крупнейших научных центров этого времени (!)—15 вв.) была Средняя Азия. Среди многих примеров достаточно назвать деятельность узбекского математика и астронома 9 в., уроженца Хорезма Мухаммеда Аль-Хорезмн (см. Хорезми), великого энциклопедия, учё­ного Бируни; создание в 15 в. обсерватории Улуг-Бека в Самарканде. Учёные средневекового Востока передали Европе математику греков и индусов в ори­гинальной переработке, причём особенно много зани­мались как раз А. Само слово «алгебра» — арабское (эль-джебр) и является началом названия одного сочинения Хорезми. Со времени Хорезми алгебру уже можно рассматривать как отдельную отрасль математики.

Математики средневекового Востока все дейст­вия излагали словами. Дальнейший прогресс А. стал возможным только после появления во всеоб­щем употреблении удобных символов для обозначе­ния действий. Этот процесс шёл медленно и зигза­гами. Выше упоминалось о знаке дроби у древних египтян; так же обстояло дело у вавилонян. У Дио­фанта буква i (начало слова isos, т. о. равный) применялась как знак равенства; были подобные сокращения и у индусов (5—7 вв.), но затем эта за­рождавшаяся символика снова терялась. Дальней­шее развитие А. принадлежит итальянцам, переняв­шим в 12 в. математику средневекового Востока. Леонардо Пизанский (13 в.) — наиболее выдаю­щийся математик этой эпохи, занимавшийся алгеб­раич. проблемами. Постепенно алгебраич. методы проникают в вычислительную практику, в первое время ожесточённо конкурируя с арифмети­ческими. Приспособляясь к практике, итальянские учёные вновь перешли к удобным сокращениям, напр. вместо слов плюс и минус стали употреблять латинские буквы р и m с особой чёрточкой сверху. Наконец, в конце 15 в. в математич. сочинениях появляются принятые теперь знаки 4- и —, причём есть указания, что эти знаки задолго до этого употреблялись в торговой практике для обозначе­ния избытка и недостатка в весе.

Быстро следует введение и всеобщее признание остальных знаков (степени, корня, скобок и т. д.). К середине 17 в. полностью сложился аппарат сим­волов соврем. А. Еще раньше завершилось развитие и другой важной черты современной А. — употребле­ние букв для обозначения не только искомого неиз­вестного, но и всех вообще входящих в задачу вели­чин. До этой реформы, окончательно закрепленной французским математиком Виетом (конец 16 в.), в А. и арифметике как бы нет общих правил и до­казательств; рассматриваются исключительно чис­ленные примеры. Почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники этого времени очень трудны, т. к. дают де­сятки частных правил вместо одного общего. Виет первый писал свои задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными А, Е, Jа изве­стные — согласными В, С, D... Эти буквы он сое­диняет введёнными уже в то время знаками мате­матич. операций. Таким образом, впервые возни­кают буквенные формулы, столь характерные для современной А. Начиная с Декарта  (17 в.), для неизвестных употребляют преимущественно послед­ние буквы алфавита (х, у, z).

Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими какие угодно конкрет­ные числа, имело исключительно важное значение. Без этого орудия — языка формул — были бы не­мыслимы блестящее развитие высшей математики, начиная с 17 в., создание анализа бесконечно-малых, математич. выражение законов механики и физики ит. д.

Содержание А. охватывало во время Диофанта уравнения 1-й и 2-й степени. К уравнениям 2-й степени (т. н. квадратным) греческие математики пришли, повидимому, геометрич. путём, т. к. за­дачи, приводящие к'этим уравнениям^ естественно возникают при определении площадей и построе­нии окружности но различным заданиям. Однако, в одном очень существенном отношении решение уравнений у древних математиков отличалось от современного: они не употребляли отрицательных чисел. Поэтому даже уравнение 1-й степени, с точки зрения древних, не всегда имело решение. При рас­смотрении уравнений 2-й степени приходилось раз­личать много частных случаев (но знакам коэффициентов). Решающий шаг — применение отрица­тельных чисел —был сделан индийскими математи­ками (10 в.), но учёные средневекового Востока но пошли по этому пути. С отрицательными чис­лами свыклись лишь постепенно; этому особенно способствовали коммерческие вычисления, в к-рых отрицательные числа имеют наглядный смысл убытка, расхода, недостатка и т. д. Всё же окон­чательно отрицательные числа были приняты толь­ко в 17 в., после того как Декарт воспользовался их наглядным геометрич. представлением для по­строения аналитической геометрии.

Возникновение аналитич. геометрии было вместе с тем и торжеством А. Если раньше, у греков, чисто алгебраич. задачи облекались в геометрич. форму, то теперь, наоборот, алгебраич. средства выраже­ния оказались уже настолько удобными и нагляд­ными, что геометрич. задачи переводились на язык алгебраич. формул.  Здесь же надо отметить, что необходимость введения всех этих чисел особенно настоятельно ощущалась как раз в А.: так, напр., квадратные иррациональности (корни) возникают при решении уравнений 2-й степени. Конечно, уже греческие и среднеазиатские матема­тики не могли пройти мимо извлечения корней и придумали остроумные способы приближённого вычисления их; но взгляд на иррациональность, как на число, установился значительно позже

Введение же комплексных или «мнимых» чисел от­носится к следующей эпохе (18 в.).

Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то к 18 веку А. сложилась в том приблизительно объёме, к-рый до наших дней преподаётся в средней школе. Эта А. охватывает действия сложения и умножения, с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень (частный случай умножения) и обратное ему — извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, к-рые могли обозначать положитель­ные пли отрицательные, рациональные или ирра­циональные числа. Указанные действия употреб­лялись в решении задач, по существу сводившихся к уравнениям 1-й и 2-й степени. Теперь А. в этом объёме владеет каждый образованный человек. Эта «элементарная» А. применяется повседневно в тех­нике, физике и других областях науки и практики. Но содержание пауки А. и её приложений этим да­леко не ограничивается. Трудны и медленны были только первые шаги; с 16 в., особенно же с 18 в., начинается быстрое развитие А., а в 20 в. она пере­живает новый расцвет.

На русском языке изложение элементарной А. в том виде, как она сложилась к началу 18 в., было впервые дано в знаменитой «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, вышедшей в 1703.

Алгебра в 18—19 вв. В конце 17 — начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории матема­тики и естествознания: был создан и быстро рас­пространился анализ бесконечно-малых (диффе­ренциальное и интегральное исчисления). Этот перелом, вызванный развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания, привёл к крушению мотафизич. мировоззрения. В то же время в А. он был подготовлен всем пред­шествующим развитием этой науки. В частности, буквенные обозначения и действия над ними еще в 16—17 вв. способствовали зарождению взгляда на математич. величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно-малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой — её функции.

'А. и анализ развивались в 17—18 вв. в тесной связи. В А. проникали функциональные представ­ления, в этом направлении её обогатил Ньютон. С другой стороны, А. принесла анализу своп бога­тый 'набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравне­ний. Крупным событием в А. этого периода было появление курса алгебры Л.Эйлера, работавшего тогда в Петербургской Академии наук; этот курс вы­шел сначала на русском языке (1768—69), а затем неоднократно издавался на иностранных языках. Отличие А. от анализа в 18—19 вв. характеризуется тем, что А. имеет своим основным предметом п р е­р ы'в и о е, коночное. Эту особенность А. ярко осо­знал и подчеркнул в первой половине 19 в. Н.И. Лобачевский, назвавший свою книгу «Алге­бра, или вычисление конечных» (1834): А. за­нимается основными операциями (сложения и умно­жения), производимыми  конечное число раз.

Простейшим результатом умножения является одночлен, напр. ЪаъЪх'1у Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, напр. х, то можно придать ему вид:

где коэфициенты а0, а,... уже не зависят от х. Это многочлен п-к степени (другое наименование — полином, целая рациональная функция). Алгеб­ра 18—19 вв. и есть прежде всего А. многочленов

Объём А., таким образом, оказывается значитель­но уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет А., изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем А. и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения и разграниче-низ между ними не является жёстким. Так, напри­мер, анализ перенял от А. её символику, без к-рой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики прохо­дит тенденция сводить изучение более сложных функ­ций к многочленам или рядам многочленов: простей­ший пример — ряд Тейлора. С другой стороны, А. нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов ста­ло господствующим в А. последнего времени, но уже в новом, специфич. виде.

Если приравнять многочлен нулю (или вообще к.-л. определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение. Исторически первой задачей А. было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней —тех значений неизвестной величины ж, при к-рых многочлен равен нулю. 

Алгебраич. решение уравнения 3-й степени най­дено в 16 в.; для уравнения вида х3 -f- рх -j- д = О (к к-рому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой: 

Эта формула называется формулой Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Кардано, или же заимствована им от Тартальи, или даже еще раньше открыта Сци­пионом дель Ферро,— нельзя считать вполне ре­шённым. В связи со спорами о приоритете в откры­тии этой формулы история математики сохранила любопытные сведения, характеризующие научные нравы того времени: математики засекречивали открытия или общие методы, воздерживаясь от их публикации, и использовали эти методы, высту­пая на состязаниях в решении задач. В 16 в. Ферра-ри, учеником Кардано, была найдена также фор­мула для решения уравнения 4-й степени.

После этого начались настойчивые поиски формул, к-рые решали бы уравнения и высших степеней по­добным образом, т. е. сводили бы решение к извле­чениям корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в на­чале 19 в. Абель и Галуа  доказали, что урав­нения степеней выше 4-й, вообще говоря, в радика­лах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения п-к сте­пени для любого п большего или равного 5. Таково напр., уравнение ж6 — Ах — 2 = 0. '

Это открытие имело большое значение, т. к. ока­залось, что корни алгебраич. уравнений — пред­мет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой тео­рии уравнений, связав с каждым уравнением группу (см.) подстановок его корней. Решение урав­нения в радикалах равносильно сведению пер­воначального уравнения к цепи уравнений вида: 

(к-рое и выражает собою, чтог/='у// а). Сведе­ние к таким уравнениям оказалось в общем слу­чае невозможным; но возник вопрос: к цени каких более простых уравнений можно свести ре­шение уравнения заданного? Например, через корни каких уравнений корни заданного уравнения выра­жаются рационально, т. е. при помощи четырёх дей­ствий— сложения, вычитания, умножения и деле­ния. В таком более широком цонимапии «теория Галуа» продолжает развиваться вплоть до нашего времени (см. ниже).

С чисто практич. стороны, для вычисления кор­ней уравнения по заданным коэфициентам, не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для урав­нений 3-й и 4-й стеиеней такие формулы практиче­ски мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычис­ления, тем более уместным, что на практике (напр. в астрономии и технике) и сами коэфициенты обычно являются результатом измерений, т. е. из­вестны лишь приближённо с той или иной точно­стью. Такие приближённые вычисления не спе­цифичны для А., поэтому мы здесь ограничимся пока­зом простейшего приёма на конкретном примере. Возьмём упомянутое выше уравнение г5 — kx — 2 = 0.

Легко убеждаемся, что многочлен, стоящий в левой части, при х-Л принимает отрицательное значе­ние — 5, а при х = 2— положительное значение-(-22. Если мы будем изменять ж от 1 до 2 через все проме­жуточные значения, то в силу непрерывно­сти и многочлен будет принимать все промежуточ­ные значения от —5 до +22, в том числе и значение нуль; следовательно, между 1 и 2 лежит какое-то значение х, обращающее многочлен в нуль, т. е. лежит его корень. Будем теперь подставлять зна­чения х через одну десятую, т. е.: 1,1 ; 1,2; ... 1,9. Оказывается, при х=1,5 многочлен еще отрицатель­ный, а при х= 1,6 — уже положительный. Значит, корень лежит между значениями 1,5 и 1,6 и мы знаем его уже с точностью до одной десятой. Мы можем теперь подставлять значения 1,51; 1,52;...; 1,59 и, продолжая процесс, найдём значение корня с любой степенью точности. Обратим внимание, что при этом вычислении мы пользовались идеей н е-п р е р ы и н о с т и, заимствуя её из других ча­стей математики.

В действительности в науке разработаны мно­гочисленные гораздо более удобные и совершенные методы приближённого решения уравнений, чем тот простейший приём, к-рый изложен выше. Один из лучших — методЛобачевского (в ма­тематич. литературе его неправильно называли иногда методом Греффе: последний опубликовал свою книгу, содержащую аналогичный метод, позже Н. И. Лобачевского).

Вычисление корней уравнений не есть главная задача А., так же как было бы глубоко неправиль­ным считать всю математику наукой о способах вычисления. Не менее важна, даже для приближе­ний, другая сторона математики: уметь чисто теоре­тическим путём, без вычислений, дать отпет на поставленные вопросы. В области теории алгебраич. уравнений   таким   является   вопрос   о числе к о р н е й и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить по­ложительные и отрицательные числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение, и притом только одно. Но уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди   т. н. действительных   чисел; на­пример  уравнение х2 + 2=0 не может  быть удов­летворено ни цри каком положительном или отри­цательном х, так как слева всегда окажется по­ложительное число^_а не нуль. Представление ре­шения в виде x=Y—2 не имеет смысла, пока не бу­дет  разъяснено,   что   такое   квадратный корень из отрицательного числа. Именно такого рода за­дачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Еще раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были вве­дены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в А., но во всех ночти разделах математики и её приложений, вплоть до гидродинамики.  По мере того,  как привыкали к мнимым числам, они потеряли  всякую таинст­венность и мнимость, почему теперь их и назы­вают чаще всего не «мнимыми», а комплексными числами.

Если допускать и комплексные числа, то оказы­вается, что любое уравнение га-й степени имеет кор­ни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэфициентами. Эта важная теоре­ма была доказана в середине 18 в. Д'Аламбером (см.) и с большей точностью — в самом конце 18 в. Гауссом; с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности, как в приведённом выше примере; г. о. доказательство т. н. основной теоремы А. само выходило за пределы А., демонстрируя лиш­ний раз неразрывность математич. науки в целом. Чисто алгебраич. решение задачи стало возможным только при иной её постановке (см. ниже— Совре­менное состояние алгебры).

Если xi — один из корней алгебраич. уравнения а0хп + «! хп~% + ... -f ап_х х + ап = О,

то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на x—xt. Из основной теоремы вытекает, что всякий много­член п-ш степени распадается на п таких множите­лей 1-й степени, т. е. тождественно:

а0хп + аххп~1 + ... 4- an_i х + ап =

= а0 (x — Xj) [х — х2)... (х — хп),

причём многочлен допускает лишь одно единствен­ное разложение на множители такого вида.

Таким образом, уравнение п-а степени имеет п корней. В частных случаях мо­жет оказаться, что нек-рые из множителей равны, т. е. нек-рые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число раз­личных корней может быть и меньше п.

Часто не так важно вычислить корни, как разоб­раться в том, каков характер этих корней. Как пример, приводом найденное еще Декартом «правяло знаков»: уравнение имеет не больше положи­тельных корней, чем в ряду его коэфициентов имеет­ся перемен знака (а если меньше, то на чётное число). Напр. в рассмотренном выше уравнении ж5—Ах— 2=0 одна перемена знака (первый коэффициент положительный, остальные — отрицатель­ные). Значит не решая уравнения, можно утвер­ждать, что оно имеет один и только один положи­тельный корень. Общий вопрос о числе действитель­ных корней в заданных пределах решается теоремой франц. математика Штурма (см. Штурма правим). Очень важно, что у уравнения с действительными коэфициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем a+bi корнем того же уравнения всегда будет и а — Ы. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движе­ние устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комнлексяые), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения на самом деле обладают этим свойством.

Многие теоретич. и практич. вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравне­ний с несколькими неизвестными. Аналитич. гео­метрия показывает значение отдельных уравнений или систем их,связывающих несколько переменных величин. В теории таких уравнений или систем применяются различные преобразования перемен­ных, примером которых является преобразование координат. Существенной частью А. 19 в. было исследование того, какие функции от коэффициентов уравнений сохраняют своё значение цри том или ином классе преобразований. Эти величины, т. н. инварианты, характеризуют наиболее важные, глубокие свойства уравнений.

продолжение