Алгебра 3

к началу

Особенно важен случай системы т. н. линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с п неизвестными:

auxj 4- а12х2 4-             alnxn = bl,

«21^1 + 022^2+ ••• +а2пхп — Ъ2.

ь xlt х2........... хп — неизвестные,  а коэфициенты

записаны так, что значки   при   них указывают па помер уравнения и номер неизвестной. Значе­ние систем уравнений 1-й стенени определяется не только тем, что они — простейшие. На практике (напр. для отыскания поправок в астрономич. вы­числениях) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями к-рых можно пре­небречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что любые уравнения сводятся в первом приближении к линейным. Еще Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравне­ний наиболее существенной является таблица, со­стоящая из коэфициентов а{к, и показал, как из этих коэфициентов (в случае п = т) строить т. н. определители, при помощи к-рых и решаются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы (см.), стали предметом са­мостоятельного изучения, так как обнаружилось,что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений.  Теория систем ли­нейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной  отрасли науки — линейной  алгебры.

А. является в наст, время объединением боль­шого числа самостоятельных научных дисциплин, между к-рыми существуют более или менее тесные связи. Нек-рые из ветвей А., в основном разраба­тывавшиеся в прошлых столетиях, в настоящее время завершаются и систематизируются. Законы, в первую очередь, А. многочленов и линейная А.; к этим разделам А. относится по существу всё со­держание университетского курса высшей А. С другой стороны, во 2-й половине 19 в. и особенно в 20 в. возник ряд новых алгебраич. дисциплин. Нек-рые из них сейчас бурно развиваются и по бо­гатству и глубине накопленного содержания уже вполне могут сравниваться с более старыми вет­вями А. (таковы теория полей, теория групп); другие проходят лишь первые этапы своего раз­вития. 

История и краткое содержание алгебры многочленов изложены выше, в истори­ческом обзоре. Этот раздел А. в его старом пони­мании можно считать уже завершённым, и дальней­шее развитие А. многочленов относится к теории полей. Вместе с тем, разнообразные ре­зультаты и методы, накопленные в этой области на протяжении многих столетий, продолжают си­стематически использоваться как в самой матема­тике, так- и за её пределами.

Как уже было сказано в историческом обзоре, линейная алгебра вырастала из теории си­стем линейных уравнений и из возникших в связи с ней теории определителей и теории ^ матриц. Теорию матриц, т. е. квадратных или, общее, прямо­угольных таблиц, составленных из чисел, следует считать одной из главных частой линейной А. В частности, многочисленные приложения нашло умножение матриц — один из важнейших примеров некоммутативного (т. е. зависящего от порядка со­множителей) умножения. К линейной А. относится также теория форм, в частности квадратичных, т. е. многочленов от нескольких неизвестных хх, х2,..., хп, каждый член к-рых имеет вид ахгхд. или ох2,-, где а — некоторый коэфициент. Теория ин­вариантов, активно развивавшаяся в 19 в., также частично является ветвью линейной А.

Причиной, к-рая привела к объединению всех этих различных теорий, служит то, что все они, иногда с разных сторон, изучают в действительности один и тот же объект, а именно многомерные (п-мерные) векторные пространства. Под этим понимают совокупность всевозможных систем вида (аь аг,..., ап), где п фиксировано, а все а,-—действительные числа, взятые в определённом порядке. Сумма двух таких систем или, как говорят, л-мерных век­торов получается сложением чисел, стоящих на оди­наковых местах:

(aL, а2, ...,а„) + (Ь1,Ьг,...,Ьп) =

= (ax + bi, ог+Ь2,..., ап+Ьп);

произведением вектора (а1( а2> •-•> ая> на число с будет вектор (ахс, а2с, апс).

В данном здесь определении вместо действитель­ных чисел можно было бы использовать комплекс­ные, и мы пришли бы к комплексным векторным про­странствам; можно было бы, вообще, воспользовать­ся элементами любого поля. Во всяком случае, понятие многомерного векторного про­странства, подготовленное конкретными задачами геометрии, механики и физики, является вполне алгебраическим. 

Линейная А. может считаться теорией векторных пространств. Так, при помощи матриц задаются преобразования векторного пространства, перево­дящие сумму векторов в сумму их образов, а произ­ведение вектора на число — в произведение его образа на это же число (такие преобразования называются линейными). На этом пути легко истол­ковывается отмечавшееся выше некоммутативное умножение матриц — оно просто отражает то, что происходит при последовательном выполнении двух линейных преобразований векторного пространства.

Среди всех отделов А. линейная алгебра являет­ся первой по значению и разнообразию приложе­ний. Трудно указать такой отдел математики, теоретической механики или теоретической физики, в к-ром не использовались бы результаты или ме­тоды, относящиеся к линейвой А. Отметим решающее влияние линейной А. на развитие функционального анализа. К линейной А. примыкает алгебра тензоров, играющих очень большую роль в современной дифференциаль­ной геометрии и в теории относительности.

Для тех разделов А., развитие которых отно­сится в основном к 20 в., характерно, что все они связаны с изучением множеств, в которых определены какие-либо алгебраич. операции. Об­щее понятие алгебраич. операции возникает при рассмотрении сложения и умножения чисел: каждая из этих операций представляет собой способ, позво­ляющий сопоставить с любой парой чисел пек-рое, притом вполне определённое, третье число — их сумму или, соответственно, их произведение. С ана­логичным положением мы встречаемся также и в слу­чае известного из элементарной физики сложения сил по правилу параллелограмма: это, опять-таки, способ сопоставить со всякими двумя силами некото­рую вполне определённую третью силу — их сумму. При переходе к более высоким ветвям науки очень быстро растёт число подобных примеров и повы­шается их значение — стоит вспомнить хотя бы векторное произведение векторов, а также произведение матриц. Сложе­ние и умножение функций также служат важными примерами операций, производимых не над числами.

Эти, а также и многие другие примеры потребо­вали изучения произвольных множеств, для эле­ментов к-рых (т. е. для объектов, их составляющих) определены алгебраич. операции, одна или несколь­ко, т. е. один или несколько связанных между со­бой способов сопоставлять по определённому зако­ну со всякой парой элементов этого множества неко­торый третий элемент этого же множества, условно называемый суммой заданных элементов, или же их произведением, или же как-либо иначе. Если ограничиться весьма общей и поэтому недостаточно точной формулировкой, то можно сказать, что зада­чей современной А. является изучение множеств, над элементами к-рых можно производить алгебраич. операции.

В подавляющем большинстве случаев алгебраич. теории изучают лишь свойства самих алгебраич. операций, а не свойства тех объектов, над к-рыми эти операции производятся, и это делает законным взгляд на А. как на науку о самих алгебраич. опе­рациях. Для пояснения предположим, что мы рас­сматриваем два множества А и В, в каждом из к-рых определено по одной алгебраич. операции, называемой, напр., в обоих случаях умножением. Пусть между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие (т. е. так сопоставить элементы этих множеств, чтобы различным элементам одного из них соответствовали различные элементы в другом), причём это соответствие обла­дает следующим дополнительным свойством: если а па' — произвольные элементы множества А и если элементу а поставлен в соответствие элемент Ъ из множества В, а элементу а' — элемент Ъ' из В, то эле­менту аа' (произведению элементов а и а' в смысле операции, определённой в множестве А) должен быть поставлен в соответствие элемент ЪЪ\ а но какой-либо иной элемент множества В. Если между множе­ствами А и В возможно такое соответствие, «сохра­няющее операцию», то эти мнон{сства называются изоморфными и с алгебраич. точки зрения считаются тождественными. Хотя А и В состоят, возможно, из элементов совсем различной природы, но все свойства операции, определённой в А, бу­дут иметь место и для операции, определённой в В, и обратно, т. е. можно сказать, что в А и в В опре­делена одна и та же алгебраич. операция. Опреде­ление изоморфизма двух множеств вполне сохра­няет смысл, конечно, и в том случае, когда в одном из них операция названа умножением, а в другом — сложением, или когда рассматриваются множества с несколькими операциями.

Укажем несколько примеров изоморфных алгеб­раич. систем. Пусть А будет множество положитель­ных действительных чисел с обычным умножением чисел в качестве алгебраич. операции, а В — мно­жество всех действительных чисел, положительных и отрицательных, со сложением чисел и качестве алгебраич. операции. Тогда соответствие, при к-ром со всяким положительным числом сопоставляется его логарифм (по основанию 10), являющийся, очевидно, элементом множества В, будет изоморфным соот­ветствием между А и В, так как логарифм произ­ведения равен, как известно, сумме логарифмов со­множителей. Таким образом, всякому свойству умно­жения положительных чисел соответствует вполне определённое свойство сложения всех действитель­ных чисел. В качестве другого примера укажем на комплексные числа. При их построении в качестве исходного материала иногда используются точки плоскости, иногда — векторы на плоскости (т. о. направленные отрезки, выходящие из начала коор­динат), иногда же просто пары действительных чи­сел. Оказывается, что во всех этих случаях мы приходим к изоморфным между собой алгебраич. системам, каждая из к-рых вполне законно пред­ставляет систему комплексных чисел.

Указанный новый взгляд на А. сформировался лишь в 20 в., причём крупная роль принадлежит здесь женщине-математику Э. Нетер (см.). В России основоположником этой новой А. явился Д. А. Граве (см.) (1863—1939), создавший в Киеве круп­ную алгебраич. школу. Заметный вклад в совре­менную А. в смысле отшлифовки её оснопных идей внёс С. О. Шатуповскиа (см.) (1859—1929, Одесса). В советские годы выдающееся место в смысле пропаганды алгебраич. идей и подготовки новых кадров алгебраистов занял Московский универ­ситет (О. Ю. Шмидт, А. Г. Kypovi, см.).

Само собой разумеется, что не все множества, в к-рых определены алгебраич. операции, в оди­наковой мере заслуживают изучения. Исторически, в спязп с их значением для приложений в смежных отделах науки, выделилось небольшое число основ­ных типов таких множеств, операции в которых но своим свойствам более или менее близки и опе­рациям сложения и умножения чисел. Наиболее важными среди различных алгебраич. образова­ний являются поли, кольца, группы 8 и структуры. Изучение свойств именно этих алгебраич. образований, описание их строения и их связей между собой и с другими основными математич. объектами как раз и составляют важ­нейшую задачу А. середины 20 в.

Наиболее тесно связано с уравнениями понятие пол п. Это понятие возникает в результате срав­нения алгебраич. свойств совокупности всех рацио­нальных чисел, совокупности всех действительных чисел и совокупности всех комплексных чисел. В каждом из этих трёх примеров мы имеем мно­жество чисел, в к-ром определены две основные опе­рации—сложение и умножение— обе коммута­тивные (т. е. а -f b = Ь + a, ab = Ъа) и ассоциативные [т.е. (a-f Ъ) -f с=а -f (6-fc), (ab)e.= = a(bc)]. Эти две операции связаны между собой, далее, законом дистрибутивности, т. е. правилом раскрытия скобок: (a -f b)c — ас -f be. Наконец, для каждой из этих операций в преде­лах самого рассматриваемого множества выполни­ма обратная операция — вычитание, как операция, обратная для сложения, и деление, как операция, обратная для умножения (последняя, впрочем, за исключением случая деления на нуль). Полем называется всякое множество, в к-ром определены операции сложения и умножения со всеми перечис­ленными свойствами.

Существует чрезвычайно много различных (т. е. не изоморфных) полей. Помимо названных выше трёх основных примеров числовых полей — поля рациональных, действительных и комплексных чи­сел, — можно указать много других полей, состав­ленных также из чисел. Так, всевозможные числа вида

а + b У 2

с рациональными коэфициентами а, Ъ также состав­ляют поле. Существуют, вместе с тем, ноля, элемен­ты к-рых не являются числами. Так, множество все­возможных дробно-рациональных функций, т. е. выражений вида

аахп -\-        -(- ... + an_tx -f ап

Ъйх1' + btxT^+ ... + Ъ^хТЬ,^ с произвольными комплексными коэфициентами (если равенство, сумму и произведение этих функ­ций понимать так, как это принято для дробей), будет являться полем, более широким, чем ноле комплексных чисел. С другой стороны, существуют поля, состоящие всего лишь из конечного числа элементов. Простейшее из них состоит из двух элементов и строится следующим образом: вся со­вокупность целых чисел разбивается на два класса— класс чётных и класс нечётных чисел. Можно про­верить, что множество, элементами к-рого являют­ся эти два класса, оказывается полем после того, как в нём вводятся сложение и умножение в соот­ветствии с правилами: «чётное плюс чётное даёт чётное», «чётное плюс нечётное даёт нечётное», «чёт­ное, умноженное на нечётное, даёт чётное» и т. д. Если дано нек-рое уравнение ге-й степени

а0ж"-f а^"-1-f ...+а„_1ж-|-а„ = 0 (1) с рациональными коэфициентами, то оно, как выше сказано, имеет в поле комплексных чисел п кор­ней. Присоединяя эти корни к полю рациональ­ных чисел, т. е. собирая все числа, к-рые можно получить из этих корней и из любых рациональных чисел при помощи сложения, умножения и вычита­ния, мы получим, как оказывается, нек-рое поле, содержащее внутри себя поле рациональных чисел и содержащееся в поле комплексных чисел, т. е. являющееся подполем последнего. Это будет поле корней (или поле разложения) заданного уравне­ния (1); так, для уравнения хг—2=0 полем корней служит уже отмечавшееся выше поле, состоящее из чисел вида а-|-ЬУ2 с рациональными а и Ъ. Можно считать, что вопрос о решении уравне­ния (1) сводится к вопросу о разыскании поля его корней.

При переходе к произвольному полю Р в качестве основ­ного поля, вполне сохраняет смысл понятие уравнения n-й степени (1),— но уже с коэфициентами из поля Р, а не с числовыми коэфициентзми, — а также понятие корня этого уравнения, причём корень может быть теперь или элемен­том самого поля Р, или же элементом не к-рого более широкого поля. Оказывается, что всегда можно найти та­кое поле Р, содержащее внутри себя поле Р, что в Р для уравнения (1) содержится п корней. Присоединяя эти кор­ни (в указанном выше смысле) к основному полю Р, мы получим содержащееся в поле Р поле корней уравнения(1). Правда, можно найти много различных полей корней для данного уравнения (1), но все они будут, как оказы­вается, между собой изоморфными.

Справедлива следующая, еще более общая теорема: всякое поле Р содержится в таком поле Q, что все уравнения вида (1) всевозможных степеней с коэфициен­тами из Q и, в частности, все уравнения с коэфициента­ми из Р обладают в Q корнями. Поле со свойствами полп Q называется алгебраически замкнутым; таково, например, поле комплексных чисел. Эта теорема по-новому — и на этот раз чисто алгебраич. путём — решает вопрос о существовании корней уравнения (см. выше об сосновнон теореме А.

Конечной целью теории полей можно считать пол­ное описание всех неизоморфных между собой полей. До достижения этой цели пока еще очень далеко, и сейчас усилия специалистов в этой области направлены преимущественно на глубокое изуче­ние двух специальных типов полей —полей алгеб­раич. чисел и полей алгебраич. функций. Полями алгебраич. чисел называются поля корней для урав­нений с целочисленными коэфициентами. Основной метод для изучения этих полей даёт упомянутая выше теория Галуа, позво­ляющая со всяким таким полем сопоставить конеч­ную группу— его группу Галуа. Теория ал­гебраических чисел, изучающая указанные поля, связывает А. с другим самостоятельным разделом математики — теорией чисел. В теории алгебраи­ческих чисел, заложенной в 19 в. Куммером и продолженной Дедекиндом, Гильбертом и др., много сделано русскими учёными Е. И. Золотарёвым  (1847—78), Г. Ф. Вороным  (1868—1908), А. А. Марковым  (1856—1922). Полями алгебраи­ческих функций называются поля корней для уравнений, коэфициентами к-рых служат упомяну­тые выше дробно-рациональные функции. В изуче­нии этих нолей исследования алгебраистов соче­таются с исследованиями специалистов в теории аналитич. функций.

Из советских математиков большой вклад в тео­рию полей, особенно в теорию нолей алгебраич. чисел, а также в примыкающие к теории полей вопросы А. многочленов внесли Н. Г. Чеботарёв  (1894— 1947, Казань) и его ученики. Особенно интересны глубокие исследования Н. Г. Чеботарёва, относя­щиеся к т. н. проблеме резольвент, т. е., кратко го­воря, к вопросу о сведении решения данного алгеб­раич. уравнения к решению уравнения с возможно меньшим числом коэфициентов. Очень важны ра­боты Б. Н. Делоне (Москва) и его сотрудников, относящиеся к теории алгебраич. чисел.

Теория полей является лишь одной из многих основных ветвей современной алгебраич. науки. Отказываясь в определении поля от требования вы­полнимости деления, мы приходим к понятию коль­ца, более общему, чем понятие поля. Примерами колец служит совокупность всех целых чисел, сово­купность'многочленов и различные совокупности функций, для к-рыхоперации сложения иумножения также имеют смысл. Во всех этих примерах умноже­ние коммутативно. Потребности приложений приве­ли, однако, и к изучению колец с некоммутативным умножением, важнейшими примерами к-рых служат кольца квадратичных матриц; выше ужо говорилось об умножении матриц, сложение же состоит в том, что складываются соответственные элементы дан­ных матриц. В самое последнее время понятию кольца пришлось придать ещё более широкий смысл, отказавшись в его определении и от ассоциативно­сти умножения. Примерами неассоциативных ко­лец служат кольца Ли, играющие существенную роль в теории непрерывных групп. Отметим приложения неассоциативных колец в проективной геометрии и в квантовой физике. Теория колец де­тально разрабатывается в настоящее время в раз­личных направлениях, но пока еще весьма далека от завершения.

Важнейшей ветвью теории колец является теория гипер коми леке пых систем, или а л-гебр. Алгеброй над полем Р называется кольцо, являющееся одновременно векторным простран­ством над этим поле, причём умноже­ние в самом кольце связано с умножением на эле­менты из Р следующим равенством:

(аа) (рб) = (,р) (аЪ), где а, Ъ — элементы данного кольца, а, р—эле­менты из Р. Во всякой алгебре можно выбрать та­кую систему элементов (т. н. базу) ах, а2,..., ап, что каждый элемент этой алгебры однозначно запи­сывается в виде

4ai-\-a2a2 +Jranan< с коэфициентами аь а2,..., ап из ноля Р. Кольца, встречающиеся в приложениях, очень часто оказы­ваются алгебрами над нек-рым нолем. Так, ноле комплексных чисел можно считать алгеброй над полем действительных чисел с базой 1, i; кольцо квадратных матриц с элементами из поля Р будет алгеброй над этим полем; совокупность векторов в трёхмерном пространстве с их обычным сложе­нием и их т. н. векторным умножением будет ал­геброй над полем действительных чисел, притом неассоциативной — это пример алгебры Ли.

Теория алгебр под названием теории гиперком-нлексных числовых систем  возникла во 2-й половине 19 в. в связи с попытками обобщения комплексных чисел. Нача­лом явилось введение кватернионов —гиперкомплексной системы, обладающей базой из четырёх элементов. В этой системе умножение некоммута­тивно, но ассоциативно, причём, как и в полях, вы­полнимо деление; заметим, что поля с некоммута­тивным умножением называются т е л а м и. В раз­витии общей теории алгебр очень значительную роль сыграли работы русского математика Ф. Э. Молина (1862—1941, Юрьев, затем Томск), относя­щиеся к концу 19 в.

Кольца и, в частности, поля служат важнейшими примерами множеств с двумя алгебраич. операци­ями. Не менее часто встречаются, однако, множе­ства лишь с одной операцией. Обычно эта операция оказывается ассоциативной, хотя не обязательно коммутативной, и, сверх того, обладает обратной операцией. Тогда такое множество называется группой. Например, всякое кольцо будет груп­пой относительно сложения, всякое поле, после удаления из него нуля, — группой относительно умножения. Группой по сложению будет всякое векторное пространство. Совокупность вращений шара, если умножением считать последовательное выполнение двух вращений, будет примером неком­мутативной группы.

Важные примеры конечных некоммутативных групп дают подстановки, т. е. взаимно одно­значные отображения конечных множеств на себя, причём произведением двух подстановок считается результат их последовательного выполнения. Тео­рия групп, возникшая и связи с теорией Галуа, долго ограничивалась изучением групп подстановок. Переход к общему понятию группы, притом без предположения конечности, произошёл много позже и сразу привёл к многочисленным новым приложениям теории групп. Так, очень зна­чительна роль групп, особенно коммутативных (абелевых), и топологии. Методы теории групп, п первую очередь теория представлений групп матрицами, нашли большое применение в современ­ной физике.

Теория групп принадлежит к числу наиболее бо­гатых содержанием и широко развивающихся ветвей А. Руководящее место в теории групп занимает теперь советская теоретико-групповая школа. К этой школе принадлежат, в частности, акад. О. Ю Шмидт (Москва), А. Г. Курош (Москва), А. И. Мальцев (Москва — Иваново) и их ученики, работающие в различных городах Советского Союза.

В последние годы предметом изучения стало так­же понятие структуры. Простейшими приме­рами структур служат множество всех натураль­ных чисел,— если в нём в качестве двух алгеб-раич. операций рассматривается взятие наиболь­шего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел,— а также совокупность всех подмножеств пек-рого множества, если двумя алгебраич. операциями над подмножествами считать взятие их объединения и пересечения (т. с. общей части). Структуры играют заметную роль в построе­нии основ проективной геометрии. Специальный тип структур — булева структура (менее удачное наз­вание — булева алгебра) — существенно исполь­зуется в математической логике, а в последнее прими находит применение — в электрич. контактных схемах.

продолжение