Информационный центр "Центральный Дом Знаний"
|
Основы математического анализа. В 2-х ч. Ильин В.А., Позняк Э.Г.Ильин В.А., Позняк Э.Г.Основы математического анализа. В 2-х ч.
М.: Физматлит. Ч.1 - 2005, 7-е изд., 648с.; Ч.2 - 2002, 4-е изд., 464с. Один из выпусков "Курса высшей математики и математической физики" под редакцией А.Н.Тихонова. В.А.Ильина. А.Г.Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. Часть I включает теорию вещественных чисел, теорию пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Часть II включает теорию функциональных последовательностей и рядов, кратных (в том числе несобственных), криволинейных и поверхностных интегралов, интегралов, зависящих от параметров, теорию рядов и интегралов Фурье. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям "Физика" и "Прикладная математика".
Формат: djvu / zip Размер: 6,4 Мб
Формат: djvu / zip Размер: 3,5 Мб
ЧАСТЬ 1. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие к седьмому изданию ..................... 15Предисловие к пятому изданию ....................... 16 Предисловие к первому изданию ...................... 17 Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа ................. 19 § 1. Математические понятия, возникающие при описании движения ................................. 19 § 2 Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические понятия ................................ 22 § 3 Задача о восстановлении закона движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика ..... 29 § 4 Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении пути 31 § 5 Заключительные замечания .................... 35 Глава 2. Теория вещественных чисел ............... 37 § 1. Вещественные числа ......................... 37 § 2 Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел ............. 50 § 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел .... 56 Дополнение 1. О переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной системы в десятичную ... 57 Дополнение 2. Об ошибках в округлении чисел в системах счисления с четным и нечетным основаниями ................ 59 Глава 3. Предел последовательности ............... 61 § 1. Числовые последовательности ................... 61 § 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства ... 67 § 3. Монотонные последовательности .................. 73 § 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств ........................... 79 Дополнение 1. Теорема Штольца .................... 93 Дополнение 2. О скорости сходимости последовательности приближающей л/а .............................. 96 Глава 4. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность ........................ 100 § 1. Понятие функции .......................... 100 § 2. Понятие предельного значения функции ............. 103 § 3. Понятие непрерывности функции .................110 § 4. Некоторые свойства монотонных функций ............113 § 5. Простейшие элементарные функции ................117 § 6. Предельные значения некоторых функций ............ 133 § 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций ................................ 138 § 8. Классификация точек разрыва функции ............. 143 Дополнение. Доказательство утверждения из п.6§ 5 ........146 Глава 5. Основы дифференциального исчисления ...... 156 § 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 156 § 2. Понятие дифференцируемости функции ............. 162 § 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного ............................... 166 § 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции ..........168 § 5. Теорема о производной обратной функции ............ 171 § 6. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций ................... 173 § 7. Правило дифференцирования сложной функции ........ 175 § 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 177 § 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала .................... 179 § 10. Производные и дифференциалы высших порядков ....... 183 § 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически ... 188 Глава 6. Неопределенный интеграл ................ 190 § 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 190 § 2. Основные методы интегрирования ................. 196 Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функциях ........ 203 § 1. Краткие сведения о комплексных числах .............203 § 2. Алгебраические многочлены .................... 207 § 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня ..... 210 § 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида . . . 212 § 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными коэффициентами на сумму простейших дробей .........215 § 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей .... 217 § 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами . 220 § 8. Проблема интегрирования рациональной дроби .........225 § 9. Метод Остроградского ........................ 228 § 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений ............................ 231 § 11. Эллиптические интегралы ..................... 245 Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях ...................... 247 § 1. Новое определение предельного значения функции ....... 247 § 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение .................................. 252 § 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции ..... 254 § 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение ............................. 255 § 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте ...... 256 § 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте ............................ 257 § 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный максимум (минимум) ............................ 260 § 8. Теорема о нуле производной .................... 262 § 9. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) ..... 263 § 10. Некоторые следствия из формулы Лагранжа .......... 264 § 11. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 269 § 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) ....... 270 § 13. Формула Тейлора .......................... 275 § 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена . . 278 § 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций ............................. 281 § 16. Примеры приложений формулы Маклорена ...........285 Дополнение. Вычисление элементарных функций .......... 290 Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение максимального и минимального значений функции ... 300 § 1. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 300 § 2. Направление выпуклости графика функции ........... 308 § 3. Точки перегиба графика функции .................310 § 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба ....... 315 § 5. Асимптоты графика функции ...................318 § 6. Схема исследования графика функции ..............320 § 7. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум .......................... 323 Глава 10. Определенный интеграл ................ 327 § 1. Интегральные суммы. Интегрируемость ............. 327 § 2. Верхние и нижние суммы ...................... 330 § 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости . . . . . 335 § 4. Некоторые классы интегрируемых функций ...........337 § 5. Основные свойства определенного интеграла .......... 344 § 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения ........ 347 § 7. Существование первообразной для непрерывной функции. Основные правила интегрирования ................352 Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов ................................... 360 Дополнение 2. Доказательство утверждения из п. 4 § 6 ....... 368 Глава 11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла ................... 368 § 1. Длина дуги кривой .......................... 368 § 2. Площадь плоской фигуры ..................... 383 § 3. Объемы тел и площади поверхностей ............... 390 § 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 395 Дополнение. Пример неквадрируемой фигуры ............ 397 Глава 12. Приближенные методы вычисления корней уравнений и определенных интегралов ......... 402 § 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений ..... 402 § 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 414 Глава 13. Теория числовых рядов ................. 426 § 1. Понятие числового ряда ....................... 426 § 2. Ряды с положительными членами ................. 432 § 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды .............. 445 § 4. Арифметические операции над сходящимися рядами ...... 453 § 5. Признаки сходимости произвольных рядов ............ 454 § 6. Бесконечные произведения ..................... 460 Дополнение 1. Вспомогательная теорема для п.3§2 ........ 466 Дополнение 2. Разложение функции sin ж в бесконечное произведение .................................. 467 Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов .................................. 470 Глава 14. Функции нескольких переменных .......... 475 § 1. Понятие функции нескольких переменных ............ 475 § 2. Предельное значение функции нескольких переменных .... 483 § 3. Непрерывные функции нескольких переменных ......... 490 § 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных ................................... 497 § 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . 513 § 6. Локальный экстремум функции т переменных .........531 § 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции ................................... 543 Дополнение. О выборе оптимального разбиения сегмента для приближенного вычисления интеграла ....... 565 Глава 15. Теория неявных функций и ее приложения . . . 568 § 1. Понятие неявной функции ..................... 568 § 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения ......... 569 § 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений ............................... 580 § 4. Зависимость функций ........................ 587 § 5. Условный экстремум ......................... 594 Дополнение. Замена переменных .................... 602 Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления ................ 606 § 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых ..................... 606 § 2. Соприкосновение плоских кривых .................615 § 3. Кривизна плоской кривой ...................... 622 § 4. Эволюта и эвольвента ........................ 627 Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел .......................... 632 Предметный указатель ............................ 642
ЧАСТЬ 2. СОДЕРЖАНИЕ |
Loading
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Часть 2.