|
Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т.
4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2006. — 608 с. Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления). Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам. ОГЛАВЛЕНИЕ: Предисловие 15Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. Матрицы 16 1.1. Основные понятия 16 § 2. Действия над матрицами 17 1. 2. Определители 20 2.1. Основные понятия 20 2.2. Свойства определителей 22 § 3. Невырожденные матрицы 24 3.1. Основные понятия 24 3.2. Обратная матрица 25 3-3. Ранг матрицы 27 § 4. Системы линейных уравнений 29 4.1. Основные понятия 29 4.2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли 30 4.3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера 32 4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.. 34 4.5. Системы линейных однородных уравнений 37 Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 5. Векторы 39 5.1. Основные понятия 39 5.2. Линейные операции над векторами 40 5.3. Проекция вектора на ось 42 5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы 44 5.5. Действия над векторами, заданными проекциями 45 § 6. Скалярное произведение векторов и его свойства 47 6.1. Определение скалярного произведения 47 6.2. Свойства скалярного произведения 48 6.3. Выражение скалярного произведения через координаты 49 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения 50 § 7. Векторное произведение векторов и его свойства 51 7.1. Определение векторного произведения 51 7.2. Свойства векторного произведения 52 7.3. Выражение векторного произведения через координаты 53 7.4. Некоторые приложения векторного произведения 54 § 8. Смешанное произведение векторов 55 8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл 55 8.2. Свойства смешанного произведения 55 8.3. Выражение смешанного произведения через координаты 56 8.4. Некоторые приложения смешанного произведения 57 Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 9. Система координат на плоскости 58 9.1. Основные понятия 58 9.2. Основные приложения метода координат на плоскости 60 9.3. Преобразование системы координат 61 § 10. Линии на плоскости 64 10.1. Основные понятия 64 10.2. Уравнения прямой на плоскости 68 10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи 73 § 11. Линии второго порядка на плоскости 74 11.1. Основные понятия 74 11.2. Окружность 75 11.3. Эллипс 76 11.4. Гипербола 79 11.5. Парабола 84 11.6. Общее уравнение линий второго порядка 86 Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 12. Уравнения поверхности и линии в пространстве 90 12.1. Основные понятия 90 12.2. Уравнения плоскости в пространстве 92 12.3. Плоскость. Основные задачи 96 12.4. Уравнения прямой в пространстве 98 12.5. Прямая линия в пространстве. Основные задачи 101 12.6. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи 103 12.7. Цилиндрические поверхности 104 12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности 106 12.9. Канонические уравнения поверхностей второго порядка 109 Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ § 13. Множества. Действительные числа 116 13.1. Основные понятия 116 13.2. Числовые множества. Множество действительных чисел 117 13.3. Числовые промежутки. Окрестность точки 119 § 14. Функция 120 14.1. Понятие функции 120 14.2. Числовые функции. График функции. Способы задания функций 120 14.3. Основные характеристики функции 122 14.4.0братная функция 123 14.5. Сложная функция 124 14.6. Основные элементарные функции и их графики 124 § 15. Последовательности 127 15.1. Числовая последовательность 127 15.2. Предел числовой последовательности 128 15.3. Предельный переход в неравенствах 130 15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы 130 § 16. Предел функции 132 16.1. Предел функции в точке 132 16.2. Односторонние пределы 134 16.3. Предел функции при х -> оо 135 16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.) 135 § 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.) 136 17.1. Определения и основные теоремы 136 17.2.Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией 140. 17.3. Основные теоремы о пределах 141 17.4. Признаки существования пределов 144 17.5. Первый замечательный предел 145 17.6. Второй замечательный предел 146 § 18. Эквивалентные бесконечно малые функции 148 18.1. Сравнение бесконечно малых функций 148 18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них 149 18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций 151 § 19. Непрерывность функций 153 19.1. Непрерывность функции в точке 153 19.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке 155 19.3. Точки разрыва функции и их классификация 155 19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций 158 19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке 159 § 20. Производная функции 161 20.1. Задачи, приводящие к понятию производной 161 20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой 164 20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции 166 20.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций 167 20.5. Производная сложной и обратной функций 169 20.6. Производные основных элементарных функций 171 20.7. Гиперболические функции и их производные 175 20.8. Таблица производных 177 §21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций 179 21.1. Неявно заданная функция 179 21.2. Функция, заданная параметрически 180 § 22. Логарифмическое дифференцирование 181 § 23. Производные высших порядков 182 23.1. Производные высших порядков явно заданной функции 182 23.2. Механический смысл производной второго порядка 183 23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции 183 23.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически 184 § 24. Дифференциал функции 185 24.1. Понятие дифференциала функции 185 24.2. Геометрический смысл дифференциала функции 186 24.3. Основные теоремы о дифференциалах 187 24.4. Таблица дифференциалов 188 24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 189 24.6. Дифференциалы высших порядков 190 § 25. Исследование функций при помощи производных 192 25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях... 192 25.2. Правила Лопиталя 196 25.3. Возрастание и убывание функций 200 25.4. Максимум и минимум функций 202 25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 205 25.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 207 25.7. Асимптоты графика функции 209 25.8. Общая схема исследования функции и построения графика 211 § 26. Формула Тейлора 213 26.1. Формула Тейлора для многочлена 214 26.2. Формула Тейлора для произвольной функции 215 Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 27. Понятие и представления комплексных чисел 218 27.1. Основные понятия 218 27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел 218 27.3. Формы записи комплексных чисел 219 § 28. Действия над комплексными числами 221 28.1. Сложение комплексных чисел 221 28.2. Вычитание комплексных чисел 221 28.3. Умножение комплексных чисел 222 28.4. Деление комплексных чисел 223 28.5. Извлечение корней из комплексных чисел 224 Глава VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 29. Неопределенный интеграл 226 29.1. Понятие неопределенного интеграла 226 29.2. Свойства неопределенного интеграла 227 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов 230 § 30. Основные методы интегрирования 232 30.1. Метод непосредственного интегрирования 232 30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) 234 30.3. Метод интегрирования по частям 236 § 31. Интегрирование рациональных функций 237 31.1. Понятия о рациональных функциях : 237 31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей 244 31.3. Интегрирование рациональных дробей 246 § 32. Интегрирование тригонометрических функций 248 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка 248 32.2. Интегралы типа / sin™ х cosn xdx 249 32.3. Использование тригонометрических преобразований 250 § 33. Интегрирование иррациональных функций 251 33.1. Квадратичные иррациональности 251 33.2. Дробно-линейная подстановка 253 33.3. Тригонометрическая подстановка 254 33.4. Интегралы типа / R(x\ л/ах2 ft- Ьх + с) dx 255 33.5. Интегрирование дифференциального бинома 255 § 34. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы 256 Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы ... 259 § 36. Геометрический и физический смысл определенного интеграла 261 § 37. Формула Ньютона-Лейбница 263 § 38. Основные свойства определенного интеграла 265 § 39. Вычисления определенного интеграла 269 39.1. Формула Ньютона-Лейбница 269 39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)... 269 39.3. Интегрирование по частям 271 39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах 272 § 40. Несобственные интегралы 273 40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода) 273 40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода) 276 §41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 278 41.1. Схемы применения определенного интеграла 278 41.2. Вычисление площадей плоских фигур 279 41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой 283 41.4. Вычисление объема тела 287 41.5. Вычисление площади поверхности вращения 289 41.6. Механические приложения определенного интеграла... 291 § 42. Приближенное вычисление определенного интеграла 298 |
Loading
|