|
Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. Малугин В.А.Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекцийМалугин В.А.М.: Эксмо, 2005. — 272 с. — (Высшее экономическое образование). Книга входит в состав учебного комплекса «Математика для экономистов», специально созданного для экономических вузов страны экономическим факультетом МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель — в ясной и удобной для восприятия форме дать студенту-экономисту весь объем необходимых ему математических знаний в части математического анализа. При этом студент четко сориентирован, для чего и когда ему будет полезно знание тех или иных разделов дисциплины: каким образом применяется в экономическом анализе математический аппарат дифференциального исчисления, как с помощью теории функции нескольких переменных можно построить производственные функции, функции спроса на ресурсы, функции полезности, изучаемые в микроэкономике, и т.д. Издание предназначено для студентов и преподавателей экономических факультетов и вузов.
Формат: djvu / zip Размер: 2,9 Мб
Предисловие Учебник написан в помощь студентам экономических факультетов высших учебных заведений и дополнен сборником задач и упражнений по математическому анализу. В учебнике кратко раскрыт важнейший теоретический инструментарий математического анализа, необходимый экономисту для его профессиональной деятельности. Автору, в течение ряда лет ведущему математические курсы на экономическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова, пришлось столкнуться с проблемами, связанными с отсутствием учебников и сборников задач по математике, отвечающих требованиям современной математизированной экономической науки. Те пособия, которые сейчас рекомендуют студентам экономических факультетов, стали устаревать (выпуски 60-х годов прошлого века). Современная же математическая литература ориентирована в основном на студентов математических специальностей. А учебники, созданные специально для студентов-экономистов, дают высшую математику на элементарном уровне, недостаточном для полноценного освоения специальных экономических дисциплин. В связи с этим существует потребность в обновлении библиотеки учебной экономико-математической литературы для студентов экономических факультетов и вузов. Данный курс по математическому анализу соответствует требованиям университетского общеобразовательного стандарта в области математики. Основой для этого курса послужили работы 1-7 (см. в конце книги список литературы). Автор использовал наиболее интересные педагогические находки из этой литературы в части изложения материала в более доходчивой форме, а также наиболее удачные примеры и иллюстрации. В последние две главы вынесен материал, с которым важно было бы познакомить студентов, но на который, как правило, в течение первого года обучения не остается времени.
СОДЕРЖАНИЕ: ПРЕДИСЛОВИЕ 9ГЛАВА1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ 11 Определение функции 12 Способы задания функций 12 Декартова система координат 13 Полярная система координат 13 Формы задания функций 15 Основные свойства функций 16 Преобразование графиков 17 Элементарные функции. Обзор 18 Вопросы для повторения 23 ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 24 Сходимость последовательности 24 Кванторы 25 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности 26 Ограниченность последовательности 27 Теоремы о сходимости последовательности 28 Вопросы для повторения 29 ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 30 Понятие предела функции 30 Свойства бесконечно малых функций 33 «Связь» между существованием функции в точке x0 и существованием предела при х-»x0 34 Свойства пределов функций 36 Первый замечательный предел 38 Второй замечательный предел 39 Задача о непрерывном начислении процентов 40 Символ Ландау (символ «о»-малое) 43 Свойства символа «о»-малое 44 Асимптотические равенства 46 Вопросы для повторения 49 ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 51 Определение непрерывности 51 Свойства непрерывных функций 54 Точки разрыва функции. Их классификация 55 Свойства функций, непрерывных на отрезке 58 Вопросы для повторения 60 ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 61 Производная функции одной переменной 61 Дифференциал функции 66 Правила вычисления производных 67 Правила вычисления дифференциалов 70 Производные некоторых элементарных функций (таблица производных) 71 Инвариантность формы первого дифференциала 75 Вопросы для повторения 75 ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 77 Уравнение касательной к кривой 77 Геометрический смысл производной (производная как тангенс угла наклона) 78 Угол между кривыми 80 Геометрический смысл дифференциала 81 Вопросы для повторения 82 ГЛАВА 7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 83 Производные высших порядков 83 Дифференциалы высших порядков 84 Производные функций, заданных неявно 85 Производные функций, заданных параметрически 87 Вопросы для повторения 88 ГЛАВА 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 89 Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши 89 Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 94 Сравнение функций по скорости роста (теоретические задачи) 96 Формулы Маклорена и Тейлора 98 Разложение элементарных функций по формуле Маклорена 100 Вопросы для повторения 103 ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ 104 Условия возрастания и убывания функции 104 Понятие экстремума 105 Необходимое условие экстремума 106 Первое достаточное условие экстремума 107 Второе достаточное условие экстремума 110 Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке 112 Выпуклость функции. Точки перегиба 112 Схема исследования функции на выпуклость 114 Асимптоты графика функции 115 Исследование функций и построение их графиков 119 Приложение. Эластичность функции 123 Геометрическая интерпретация 123 Свойства эластичности функции 124 Эластичность элементарных функций 126 Вопросы для повторения 127 ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 128 Понятие функции как отображения 128 Введение в функции нескольких переменных 129 Понятие функции нескольких переменных 129 Линии уровня 133 Предел функции нескольких переменных 135 Непрерывность 140 Непрерывность функции нескольких переменных 140 Свойства непрерывных функций нескольких переменных 142 Частные производные 143 Частные производные 143 Геометрический смысл частной производной 145 Понятие дифференцируемости 146 Определение дифференцируемости 146 Связь между дифференцируемостью и непрерывностью 148 Полный дифференциал 153 Полный дифференциал 153 Частные дифференциалы 154 Сложные функции. Их производные 155 Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных.. 155 Производная функции Z = z(x,y) при x = x(t) и y = y(t) 157 Производная функции z = z{u,v) при и = и(х,у) и v = v(x,y) 157 Производная функции z = z(u, v) при произвольном задании аргументов 158 Неявные функции. Их производные 158 Уравнение F(x,y) = О в дифференциалах 159 Уравнение F(x,y) = 0 в производных 159 Уравнение' F(x,y,z) = 0 в дифференциалах 160 Уравнение F(x,y,z) = 0 в производных 160 Система уравнений в дифференциалах 161 Однородные функции 162 Производная по направлению 163 Производная по направлению...163 Градиент 165 Свойства градиента 168 Производные и дифференциалы высших порядков 168 Производные высших порядков 168 Дифференциалы высших порядков 172 Формула Тейлора 175 Макроэкономическая функция Кобба-Дугласа 179 Понятие производственной функции 179 Требования к производственной функции 180 Функция Кобба-Дугласа как макроэкономическая производственная функция 181 Вопросы для повторения 185 ГЛАВА 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 186 Понятие первообразной 186 Свойства неопределенного интеграла 188 Табличные интегралы 189 Методы нахождения неопределенных интегралов 190 Вопросы для повторения 200 ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 201 Площадь криволинейной трапеции 201 Свойства определенного интеграла 203 Производная интеграла с переменным верхним пределом 206 Формула Ньютона-Лейбница 207 Формула замены переменной в определенном интеграле 209 Формула интегрирования по частям 210 Приближенное вычисление определенных интегралов 211 Оценка определенных интегралов 212 Вычисление площадей плоских фигур 213 Вопросы для повторения 216 ГЛАВА 13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 217 Несобственные интегралы 1-го рода 217 Эталонный интеграл 1-го рода 218 Несобственные интегралы 2-го рода 219 Эталонный интеграл 2-го рода 220 Исследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-го рода от неотрицательных функций 221 Исследование на сходимость интегралов от знакопеременных функций 226 Использование интегралов в экономике 228 Вопросы для повторения 230 ГЛАВА 14. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 231 Понятие двойного интеграла 231 Основные свойства двойного интеграла 234 Нахождение двойных интегралов 235 Вопросы для повторения 239 ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 240 Необходимое и достаточное условия. Определения 240 Операции над множествами 241 Булева алгебра 243 Вопросы для повторения 248 ГЛАВА 16. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 249 Понятие комплексного числа 249 Арифметические операции над комплексными числами 250 Комплексная плоскость 250 Функция комплексного переменного 251 Тригонометрическая форма комплексного числа 251 Формула Муавра 253 Извлечение корня из комплексного числа 254 Показательная форма комплексного числа 256 Свойства комплексной показательной функции 257 Вопросы для повторения 258 ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ 259 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 263 |
Loading
|