Год: 2004
Издательство: Изд-во С.-Петерб. ун-та
ISBN: 5-288-03469-9
Язык: Русский
Количество страниц: 127
Пособие посвящено простейшим, наиболее известным, одномерным моделям квантовой механики. В нем подробно разбираются общие закономерности одномерного движения квантовых частиц, а также формулируются математические понятия, знание которых необходимо для решения квантово-механических уравнений движения. Использование общих теоретических методов иллюстрируется на примерах движения частиц в одномерных модельных потенциалах. Проводится детальный анализ физических следствий, вытекающих из решения задач с модельными потенциалами, в том числе, проводится сравнение с движением классических частиц.
Пособие предназначено для студентов физических специальностей университетов, приступающих к изучению квантовой механики.

Оглавление:

Предисловие 5

Глава 1. Одномерное движение 7

1.1. Линейные дифференциальные уравнения........ 8

1.2. Волновая функция.................. . . 19

1.3. Симметрия......................... 23

1.4. Энергетический спектр.................. 25

1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц 29

Глава 2. Прямоугольная потенциальная яма 33

2.1. Отрицательные энергии................. 34

2.2. Положительные энергии................. 41

2.3. Одномерная <5-образная потенциальная яма...... 52

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер 61

3.1. Модель........................... 61

3.2. Энергия ниже высоты барьера ............. 62

3.3. Энергия выше высоты барьера............. 68

3.4. Сравнение движения квантовой и классической частиц 70

Глава 4. Частица в периодическом потенциале 71

4.1. Трансляционная симметрия............... 71

4.2. Нормировка блоховских функций............ 78

4.3. Спектр оператора Гамильтона ............. 80

4.4. Периодические прямоугольные барьеры........ 82

4.5. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака) ..... 84

4.6. Сравнение движения квантовой и классической частиц 89

Глава 5. Гармонический осциллятор 91

5.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона....... 91

5.2. Операторы рождения и уничтожения.......... 92

5.3. Спектр оператора Гамильтона ............. 93

5.4. Собственные функции оператора Гамильтона..... 96

5.5. Сравнение классического и квантового осцилляторов 100

Глава 6. Однородное поле 105

6.1. Постановка задачи. Оператор Гамильтона....... 105

6.2. Решение в импульсном представлении......... 106

6.3. Сравнение движения квантовой и классической частиц 108

Глава 7. Осциллятор в однородном поле 111

7.1. Постановка задачи в координатном представлении . . 111

7.2. Решение с операторами рождения и уничтожения . . 113 7-3. Свойства осциллятора в однородном поле....... 116

Список иллюстраций 119

Предметный указатель 121

Литература 125

Предисловие

В основу данного пособия положен один из разделов двухсе-местрового курса лекций по квантовой механике, читаемых про­фессором Абаренковым И. В. на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета с 1964 г. Целью по­собия является подробное изложение тех вопросов курса квантовой механики, которые, как показала практика, целесообразно вынести на самостоятельное изучение, оставив в курсе лекций лишь краткое введение и резюме. Кроме того, это пособие может быть полезным при проведении семинарских занятий. Порядок изложения и расста­новка акцентов отражает практику изучения данного материала на семинарских занятиях по квантовой механике на физическом фа­культете СПбГУ.

Пособие состоит из семи глав. В первой главе рассмотрены об­щие закономерности одномерного движения и кратко сформулиро­ваны основные математические понятия и результаты, которые не­обходимы для дальнейшего изучения материала. В ходе изложения авторы старались как можно четче разделять математические и фи­зические требования предъявляемые к решению уравнения Шредин-гера. Особое внимание обращено на ограничения, которые налага­ются на волновую функцию исходя из физических соображений. В остальных главах проведено детальное исследование движения час­тицы в основных одномерных модельных потенциалах. При этом авторы стремились не просто привести решение конкретной зада­чи, а проиллюстрировать на ее примере разные методы и подходы квантовой теории. В частности, в ходе решения применялась техни­ка операторов рождения и уничтожения, координатное и импульс­ное представления. В тех задачах, которые обладают симметрией, эта симметрия обязательно использовалась. Для всех рассмотрен­ных модельных потенциалов проведено сравнение движения класси­ческой и квантовой частиц. Так как авторы уверены, что графичес­кое представление информации облегчает и ускоряет ее усвоение, в пособии приведено большое количество рисунков.

Очевидно, что разнообразие всевозможных модельных задач не исчерпывается рассмотренными в данном пособии одномерными потенциалами. Пособие не претендует на сколько-нибудь полное осве­щение этого круга вопросов. Однако подробный анализ, который сопровождает решение каждой задачи, призван помочь студентам вникнуть в физический смысл полученных результатов, «оживить» громоздкие математические конструкции квантовой механики, сде­лав их ясными и прозрачными.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам посо­бия — профессорам А. В. Тулубу и Е. Д. Трифонову за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, а также профессору И. В. Комарову и доценту В. Ф. Братцеву за плодотворную дис­куссию по некоторым математическим вопросам, обсуждаемым в данном пособии.